Em sentido amplo, «paradoxo» significa o que é «contrário à opinião recebida e comum», ou à opinião admitida como válida.

Em Filosofia, paradoxo designa o que é aparentemente contraditório, mas que apesar de tudo tem sentido.

Em Matemática, fala-se muitas vezes de paradoxo matemático ou paradoxo lógico, ou seja, de uma contradição deduzida no seio dos sistemas lógicos e das teorias matemáticas.

No entanto, as fronteiras do conceito de paradoxo não estão muito bem definidas. As ideias de conflito ou de dificuldade insuperável parecem acompanhar de forma estável a ideia de paradoxo. Mas, demasiado gerais, elas podem servir também para caracterizar «antinomia» (que originariamente significava conflito entre duas leis) ou «aporia» («caminho sem saída»).

Um paradoxo lógico consiste em duas proposições contrárias ou contraditórias derivadas conjuntamente a partir de argumentos que não se revelaram incorretos fora do contexto particular que gera o paradoxo. Ou seja, partindo de premissas geralmente aceites e utilizadas, é (pelo menos aparentemente) possível, em certas condições específicas, inferir duas proposições que ou afirmam exatamente o inverso uma da outra ou não podem ser ambas verdadeiras.

Os paradoxos são conhecidos e discutidos desde a antiguidade e o seu aparecimento tem impulsionado, em vários casos, um estudo mais rigoroso e profundo dos fundamentos da matemática.

Os paradoxos mais conhecidos:

Paradoxo de Burali-Forti

Trata-se de um paradoxo da teoria dos conjuntos. Sabe-se que a toda a boa ordem corresponde um único número ordinal . Também se sabe que todo o segmento inicial de ordinais forma uma boa ordem cujo número ordinal correspondente excede todos os ordinais desse conjunto. Considere-se a coleção de todos os ordinais. Esta coleção é uma boa ordem e, portanto, corresponde-lhe um ordinal A . Logo, A excede todos os ordinais e, em particular, excede-se a si próprio, o que é uma contradição.

Na raiz deste paradoxo está o uso irrestrito do princípio da abstração, o qual permite formar o conjunto A .

Paradoxo de Cantor

Paradoxo de Cantor é o paradoxo da teoria dos conjuntos que se obtém devido a considerar-se a cardinalidade do conjunto V de todos os conjuntos. Por um lado, esta cardinalidade não pode ser inferior à cardinalidade do conjunto das partes de V, pois todas as partes de V são conjuntos e. portanto, formam um subconjunto de V. Por outro lado, o Teorema de Cantor diz – precisamente – que a cardinalidade de um qualquer conjunto é inferior à cardinalidade do conjunto das partes desse conjunto.

Na raiz deste paradoxo está também o uso irrestrito do princípio da abstração , o qual permite formar o conjunto

Paradoxo do Mentiroso, de Epiménides ou do Cretense

Epiménides é cretense e afirma que todos os cretenses mentem.

Se Epiménides for cretense e se todos os cretenses mentem então, quando Epiménides afirma:

Todos os cretenses mentem

Afirma uma proposição verdadeira. Portanto Epiménides não mente quando afirma que todos os cretense, incluindo Epiménides, mentem. V.

Em consequência:

1- Epiménides mente se e só se não mente (isto é, diz a verdade)

2- Epiménides não mente (isto é, diz a verdade) se e só se mente.

 

Paradoxo dos gêmeos

O Paradoxo dos Gêmeos, ou Paradoxo de Langevin, é um experimento mental envolvendo a dilatação temporal, uma das consequências da Relatividade restrita. Nele, um homem que faz uma viagem ao espaço numa nave de grande velocidade, voltará em casa mais novo que seu gêmeo que ficou em Terra, movendo-se a velocidades quotidianas.

 

O enunciado

Dois gêmeos A e B idênticos, estando o irmão A em uma nave espacial na qual ele viajará a uma velocidade muito próxima de c (velocidade da luz) - enquanto o outro, B, permanece em repouso na Terra. Para B, a nave está se movendo, e por conta disso ele pode afirmar que o tempo está correndo mais lentamente para seu irmão A que está na nave.

Analogamente, A vê a Terra se afastar, pelo que ele pode, da mesma forma, afirmar que o tempo corre mais lentamente para B.

Quando a nave retornar à Terra, qual dos dois efetivamente estará mais jovem?

 

A solução

Em primeiro lugar, o enunciado parte de uma premissa errada. No quadro da relatividade restrita, a simultaneidade de acontecimentos não é garantida entre referenciais movendo-se um em relação ao outro, logo, não faz sentido comparar o correr do tempo para o gêmeo A com o correr do tempo para o gêmeo B sem referir qual o referencial em que essa comparação está a ser feita. Por isso, concluímos que essa teoria é relativamente linear.

O que o gêmeo B pode afirmar é que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão A quando medido no seu referencial (de B). Do mesmo modo, o gêmeo A pode afirmar que o tempo corre mais rapidamente para o seu irmão B quando medido no seu referencial (de A). A situação dos dois gêmeos é simétrica enquanto cada qual estiver no seu referencial inercial. Lembrando que os efeitos relativísticos são sempre atribuídos ao outro.

Mas existe uma quebra de simetria fundamental no problema: somente o irmão B pode afirmar que esteve todo o tempo em um mesmo referencial inercial, a Terra, enquanto que o irmão A saiu do referencial inercial Terra e foi para um referencial movendo-se a velocidade constante em relação ao primeiro; mais tarde, teve de inverter o sentido do movimento (outra mudança de referencial inercial) e, finalmente, abrandar e regressar ao referencial em que se encontrava à partida (uma terceira mudança de referencial inercial).

Assim, a comparação do correr do tempo pode ser feita no referencial inercial da Terra - que foi onde B sempre esteve e de onde A partiu e chegou - e conclui-se que B é mais velho do que A.

Estas mudanças de referencial inercial implicam uma aceleração, e A, enquanto acelerado, encontra-se num referencial não-inercial.

 

 

 

 

 

 

 

 

Antinomia

Muitas vezes, usam-se as palavras paradoxo e antinomia como sinônimos ou então consideram-se as antinomias como uma classe especial de paradoxos: os resultantes de uma contradição entre duas proposições, em que cada uma delas é racionalmente defensável.

De uma forma geral, antinomia designa um conflito entre duas ideias, proposições, atitudes, etc.. Fala-se, por exemplo, de antinomia entre fé e razão, entre amor e dever, entre moral e política. Num sentido mais restrito, antinomia designa um conflito entre duas leis.

O termo antinomia é, por vezes, utilizado para designar um conflito entre duas proposições, ou entre as consequências que delas advêm. A antinomia de duas proposições difere da contrariedade. Duas proposições podem ser contrárias sem que constituam uma antinomia, no entanto, ela surge quando se pretende provar a validade de cada uma delas.

Especificamente, emprega-se o termo antinomia dentro da crítica Kantiana do sistema de ideias cosmológicas na Crítica da Razão Pura (1781). Kant (1724-1804) fala da «antinomia da razão pura que consiste em usar ideias transcendentes com o fim de obter conhecimentos relativos ao mundo».

Kant salienta que "Uma tese dialética da razão pura deverá, por consequência, possuir algo que a distinga de todas as proposições sofísticas e é o seguinte: que não se ocupe de uma questão arbitrária, levantada apenas por capricho, mas de um problema que se depara necessariamente à razão humana na sua marcha; e, em segundo lugar, que apresente, como proposição contrária, não uma aparência artificial que logo desaparece desde que como tal se examina, mas uma aparência natural e inevitável que, mesmo quando já não engana, continua ainda a iludir, embora não a enredar, e que, por conseguinte, pode tornar-se inofensiva sem nunca poder ser erradicada." 2 Kant dá uma lista de quatro antinomias, divididas em dois grupos: antinomias matemáticas e antinomias dinâmicas.

1ª Antinomia Tese: "O mundo tem um começo no tempo e é também limitado no espaço." Antítese: "O mundo não tem começo nem limites no espaço; é infinito tanto no tempo como no espaço."

2º Antinomia Tese: "Toda a substância composta, no mundo, é constituída por partes simples e não existe nada mais que o simples ou o composto pelo simples." Antítese: "Nenhuma coisa composta, no mundo, é constituída por partes simples, nem no mundo existe nada que seja simples."

3ª Antinomia Tese: "A casualidade segundo as leis da natureza não é a única de onde podem ser derivados os fenômenos do mundo no seu conjunto. Há ainda uma casualidade pela liberdade que é necessário admitir para os explicar." Antítese: "Não há liberdade, mas tudo no mundo acontece unicamente em virtude das leis da natureza."

4ª Antinomia Tese: "Ao mundo pertence qualquer coisa que, seja como sua parte, seja como sua causa, é um ser absolutamente necessário." Antítese: "Não há em parte alguma um ser absolutamente necessário, nem no mundo, nem fora do mundo, que seja a sua causa."

Contradição

A noção de contradição é, geralmente estudada sob a forma de um princípio: o «princípio de contradição» ou «princípio de não contradição». Com frequência, tal princípio é considerado um princípio ontológico e, neste sentido, enuncia-se do seguinte modo:

«É impossível que uma coisa seja e não seja ao mesmo tempo, a mesma coisa». Outras vezes, é considerado como um princípio lógico, e então enunciado do modo seguinte: «não se pode ter p e não p», onde p é símbolo de um enunciado declarativo.

O primeiro pensador que apresentou este princípio de forma suficientemente ampla foi Aristóteles. Várias partes da sua obra estão consagradas a este tema, mas nem sempre o princípio é formulado do mesmo modo. Às vezes apresenta-o como uma das «noções comuns» ou «axiomas» que servem de premissa para a demonstração, sem poderem ser demonstradas. Noutras ocasiões, apresenta-o como uma «noção comum», usada para a prova de algumas conclusões. Apresenta ainda este princípio como uma tese segundo a qual se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e se uma proposição é falsa, a sua negação é verdadeira, quer dizer, como a tese segundo a qual, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Estas formulações podem reduzir-se a três interpretações do mesmo princípio: ontológica, lógica e metalógica. No primeiro caso o princípio refere-se à realidade; no segundo, converte-se numa formula lógica ou numa tautologia de lógica sequencial, que se enuncia do seguinte modo: ¬(p Ù ¬p)

e que se chama geralmente de lei de contradição. No terceiro caso, o princípio é uma regra que permite realizar inferências lógicas.

As discussões em torno do princípio de contradição têm diferido consoante se acentua o lado ontológico ou o lado lógico e metalógico. Quando se dá mais relevância ao lado ontológico, trata-se sobretudo de afirmar o princípio como expressão da estrutura constitutiva do real, ou de o negar supondo que a própria realidade é contraditória (Hereclito) ou que, no processo dialético da sua evolução, a realidade supera, transcende ou vai mais além do princípio de contradição (Hegel). Quando predomina o lado lógico e metalógico, trata-se então de saber se o princípio deve ser considerado como um axioma evidente por si mesmo ou como uma convenção da nossa linguagem que nos permite falar acerca da realidade.

Contraditório

relação de oposição que se dá entre proposições contraditórias, é a que se dá entre as proposições A-O e E-I. Segundo a relação de oposição contraditória, duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas. Portanto:

Se A é verdadeira, O é falsa. Se A é falsa, O é verdadeira. Se E é verdadeira, I é falsa. Se E é falsa, I é verdadeira.

A contradição respeita a proposições, não a ideias. As ideias não são contraditórias entre si; podem ser contraditórias apenas as proposições em que se afirma ou nega algo.

 

Absurdo

Absurdo significa contrário à razão. Habitualmente, chamamos absurdo ao que está fora do considerado «normal»ou que está contra ou se afasta do sentido «comum».

É frequente falar-se de proposições absurdas ou crenças absurdas, com efeito, podemos conceber crenças absurdas e expressá-las em proposições que não têm um aspecto absurdo.

É também frequente dar um sentido lógico – ou se quisermos, ilógico- a "absurdo", equiparando absurdo a ilógico. Neste sentido, surge a expressão "Redução ao absurdo", que designa um tipo de raciocínio, que consiste em provar uma proposição p, assumindo a falsidade de p e demonstrando que da falsidade de p se deduz uma proposição contraditória com p.

Há, no entanto, uma outra acepção de absurdo, estritamente ligada a sem sentido. Por exemplo, quando falamos de um retângulo redondo, um triângulo com quatro lados, substâncias imateriais, etc. estamos a falar de coisas sem sentido. Segundo alguns autores, estas situações não traduzem um erro mas antes uma situação em que as palavras carecem de significação, isto é, são absurdas.

 

Autor: Olga Pombo - opombo@fc.ul.pt