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Isaac Newton |
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Isaac Newton nasceu na cidade inglesa
de Woolsthorp, Lincolnshire, no dia 25 de dezembro de 1642,
exatamente 11 meses após a morte de Galileo. Ele faleceu em
Londres no dia 20 de março de 1727.
Em janeiro de
1665, após receber o título de bacharel, Newton teve que
retornar à sua cidade natal, onde ficou durante dois anos,
devido à peste que assolava Londres. Foi neste período em que
ele desenvolveu suas mais importantes idéias científicas.
Nestes dois anos Newton desenvolveu a ciência da
mecânica como nós a conhecemos, estabelecendo as leis do
movimento dos corpos.
Newton também dedicou-se à
óptica nesta época, iniciando suas primeiras experiências com
prismas.
Para poder realizar cálculos mecânicos e
compreender a Gravitação, Newton inventou uma ferramenta
matemática que ele chamou de "fluctions", e que agora é
conhecida como "cálculo". O cálculo diferencial também foi
descoberto nesta mesma época, independentemente, pelo filósofo
e matemático alemão Gottfried-Wilhelm Leibnitz.
Newton
é considerado hoje o maior de todos os físicos clássicos.
As leis de Newton
Em 1684 o
astrônomo Edmund Halley visitou Newton em Cambridge. Ouvindo
suas idéias sobre o movimento dos corpos celestes ele
estimulou Newton a desenvolvê-las sob a forma de um livro.
Halley certamente queria usar estas teorias para analisar
órbitas, particularmente aquela do cometa de 1682, que agora
tem o seu nome, cometa Halley.
Impelido por Edmund
Halley, Newton publicou, em 1687, as suas leis do movimento e
a análise da gravidade sob a forma de um livro que,
possivelmente, é o mais importante texto de física escrito até
hoje.
O livro de Isaac Newton tinha o título
Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica
ou simplesmente Principia
Mathematica ("Princípios Matemáticos da Filosofia
Natural").
Halley estava tão decidido a ver as idéias
de Newton sob a forma impressa que, ao notar que a falta de
fundos na Royal Society provavelmente retardaria o projeto,
decidiu pagar o custo inteiro da primeira impressão deste
importante livro.
A página título e o frontispício que
aparecem na imagem acima são da terceira edição do
Principia Mathematica de Isaac Newton, publicada em
1726. A primeira edição apareceu em 1687.
Newton
formulou três importantes leis:
- um objeto permanece em repouso ou em movimento uniforme
em uma linha reta a menos que atue sobre ele alguma força.
- quando uma força age sobre um corpo ele muda seu
movimento em uma quantidade proporcional à força que age
sobre ele, e de acordo com a direção da força.
- quando um objeto exerce uma força sobre um segundo
objeto, o segundo objeto exerce uma força igual e oposta
sobre o primeiro.
Entre as suas várias realizações
científicas podemos citar:
- seu trabalho entitulado "Principia" onde ele formulou as
leis do movimento que são os fundamentos da mecânica. Com
base nestas leis Newton conseguiu explicar porque os
planetas obedecem às leis de Kepler. O "Principia" é,
provavelmente, o mais importante trabalho científico escrito
até hoje.
- Newton expressou a lei universal da gravitação em forma
matemática, mostrando que a força da gravidade cai
inversamente com o quadrado da distância entre dois corpos.
- Newton mostrou que a gravidade não somente faz uma maçã
cair ao chão mas também governa os movimentos dos planetas e
seus satélites. A teoria da gravitação de Newton deve se
aplicar a quaisquer corpos até mesmo, por exemplo, a
estrelas binárias.
- Newton mostrou que a lei da gravitação poderia explicar
tanto as marés sobre a Terra como a precessão dos
equinócios.
Isaac Newton e a Gravitação
Universal
O "Principia", um dos mais influentes
livros na história da ciência, teve sua origem nas
especulações do jovem Newton sobre a trajetória da Lua durante
sua estadia em Woolsthorpe Manor duas décadas antes (a
história de que Newton teria notado a existência da lei da
gravitação a partir da queda de uma maçã é, quase certamente,
apócrifa).
A pergunta que estimulou seus pensamentos
era: o que impede a Lua de sair de sua órbita em torno da
Terra exatamente como acontece ao cortarmos a corda que prende
uma bola que está sendo girada?
A bola em tal situação
abandona sua trajetória circular e desloca-se em uma tangente
a essa órbita.
Vamos ver isso de uma outra maneira.
Suponha que temos um canhão imaginário, muito poderoso, sobre
a superfície da Terra. Vamos colocá-lo no topo de uma montanha
bastante alta e dispará-lo sempre horizontalmente. Após um
pequeno percurso a bala do canhão cairá sobre a superfície da
Terra. Suponha agora que aumentamos bastante a capacidade do
nosso projétil e o disparamos de novo nas mesmas condições
anetriores. Agora, com mais velocidade, ela percorrerá uma
trajetória maior mas voltará a cair sobre a superfície.
Seguindo esse raciocínio podemos imaginar que à medida que
aumentamos a velocidade do nosso projétil, ele se deslocará
por distâncias cada vez maiores antes de retornar à superfície
da Terra. É fácil concluir que se o canhão projetasse sua bala
com exatamente uma determinada velocidade, ela se deslocaria
em volta de todo o nosso planeta, sempre "caindo" mas nunca
alcançando a superfície da Terra. Podemos dizer que a
superfície da Terra se curva com a mesma taxa que a bala do
canhão "cai".
Essa
analogia agora pode ser aplicada à Lua em seu movimento em
torno da Terra. Newton raciocinou que a Lua pode ser vista
como perpetuamente caindo da tangente que ela descreveria em
sua contínua órbita em torno da Terra se não fosse atraida
pelo nosso planeta.
Newton calculou matematicamente
por quanto, em tal analogia, a Lua estaria caindo a cada
segundo. Com esses valores ele calculou, com base no mesmo
princípio, a velocidade provável de um corpo que cai de modo
usual nas nossas próprias vizinhanças. Em suas próprias
palavras, a teoria e a realidade estavam "consideravelmente
próximas".
Mas, quem faz a Lua "cair" na direção da
Terra? Newton nos disse que a Lua "cai" continuamente em sua
trajetória em torno da Terra por que existe uma força
gravitacional que a atrai na direção do centro do nosso
planeta. A Lua sofre uma aceleração gerada pela gravidade do
nosso planeta e o conjunto desses fatores produz, no fim das
contas, sua órbita.
Seguindo esse raciocínio Newton
chegou à conclusão que dois objetos quaisquer no Universo
exercem uma mútua atração gravitacional, gerada por uma força
que tem uma forma matemática universal.
A palavra
gravidade já estava em uso nessa época, significando a
qualidade de "peso" que faz um objeto cair. Newton demonstrou
sua existência agora como uma lei universal:
"Duas partículas quaisquer
de matéria atraem uma a outra com uma força diretamente
proporcional ao produto de suas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância entre
elas" |
Com esta
observação Newton introduziu o grande princípio unificador da
física clássica, capaz de explicar em uma lei matemática o
movimento dos planetas, o movimento das marés e a queda de uma
maçã.
Veja que a lei descrita acima nos fala de
proporcionalidades. Em matemática quando queremos passar de
uma proporcionalidade para uma igualdade introduzimos uma
"constante de proporcionalidade". Esta constante de
proporcionalidade terá um determinado valor numérico além de
unidades físicas.
Deste modo, podemos escrever a lei
da gravitação universal como uma igualdade se introduzirmos
uma constante de proporcionalidade, que chamaremos de
constante universal da gravitação e que será sempre
representada pela letra G.
A Lei da Gravitação
Universal pode ser escrita matemáticamente como:
onde G é a "constante universal
da gravitação" (ou apenas constante gravitacional), M e
m são as massas dos corpos que estão interagindo
gravitacionalmente, e d é a distância entre estes
mesmos corpos.
A contante universal da gravitação tem
o valor
G = 6,67 x 10-8 dinas
centímetro2/grama2 |
ou |
G = 6,67 x 10-11 newtons
metro2/quilograma2 |
Na
igualdade acima "dina" e "newton" são unidades de medida de
forças. "Dina" corresponde a
gramas.centímetro/segundo2 e "newton" equivale a
quilograma.metro/segundo2.
Por que chamamos
G de constante universal da gravitação? Isso se
deve ao fato de que a física considera que o seu valor é, e
sempre foi, o mesmo em todos os lugares do universo ao longo
de toda a sua existência. Isso nos diz que a física considera
que a interação gravitacional possui uma característica
universal: ela possui a mesma forma matemática em todos os
locais do universo.
Na física de hoje é mais comum
usar o termo "interação" em vez de "força" quando falamos dos
processos fundamentais que ocorrem na natureza. Deste modo,
passaremos a usar o termo "interação gravitacional" (em vez de
"força gravitacional") ao nos referirmos aos processos de
interação que ocorrem entre dois corpos com massa envolvendo a
gravidade.
A interação gravitacional possui algumas
características importantes que devem ser realçadas:
- a gravidade é a mais fraca entre todas as interações
fundamentais (mais tarde veremos que existem outras três
interações fundamentais na natureza, a forte, a fraca e a
eletromagnética. Veremos também que estas três interações na
verdade se reduzem a apenas duas, a eletrofraca e a forte).
- a gravidade é uma interação de longo alcance. Veja, na
equação acima, que não há qualquer limite para o valor de
d, que é a distância entre os corpos.
- a gravidade é uma interação somente atrativa. Não
existe repulsão gravitacional na física newtoniana.
- quando consideramos dois corpos celestes, a distância
entre eles se refere não às suas superfícies mas sim aos
seus centros. Por exemplo, se estivermos aplicando a lei da
gravitação universal ao sistema Sol-Júpiter, a distância
entre eles é aquela que vai do centro do Sol ao centro de
Júpiter.
Por causa destas propriedades a gravidade
domina várias áreas de estudo na astronomia. É a interação
gravitacional quem determina as órbitas dos planetas, estrelas
e galáxias, assim como os ciclos de vida das estrelas e a
evolução do próprio Universo.
A Constante
Gravitacional da equação de Newton
A gravidade é
uma interação tão fraca que não era possível medir o valor da
constante G que aparece na equação da gravitação de
Newton na época em que ela foi proposta.
O primeiro a
estimar o valor de G foi o astrônomo Nevil Maskelyne. Para
fazer isto ele procurou usar duas massas bastante diferentes
de tal modo que a interação gravitacional entre elas pudesse
ser medida. Nada melhor do que a massa de uma montanha e a de
um pedaço de chumbo preso a uma linha. Certamente a atração
gravitacional entre estas duas massas provocaria uma deflexão
na linha que sustentava o chumbo.
Em 1774, Maskelyne
aproximou o seu peso de chumbo das encostas inclinadas do
Monte Schiehallion, na Escócia, e mediu a deflexão da linha ou
seja, a ação gravitacional entre a montanha e o peso de
chumbo. Como o monte Chiehallion tinha uma forma muito
regular, Maskelyne foi capaz de estimar sua massa e, como ele
conhecia a massa do peso de chumbo, foi possível então
determinar o valor da constante gravitacional G.
No entanto, o físico inglês Henry Cavendish foi o
primeiro a medir G no laboratório.
A ação da
gravidade nas nossas vidas
E de que modo a ação da
gravidade se apresenta na nossa vida? O simples fato de você
permanecer de pé na superfície da Terra é resultado da
existência da interação gravitacional. É a ação da gravidade
da Terra que faz você permanecer sobre ela. É claro que você
tem até uma pequena liberdade pois consegue saltar na vertical
mas logo é obrigado a retornar à sua superfície tão logo a
Terra sinta "saudades" de você e te traga de volta para
pertinho dela.
E que outras ações da gravidade nos
afetam diretamente? A ação gravitacional entre a Terra e a Lua
é uma dessas ações. É ela que produz o conhecido fenômeno das
marés. Além disso, como a Lua é um satélite de grande massa,
se comparado com os outros satélites do Sistema Solar, a
atração gravitacional entre ela e a Terra serve como elemento
estabilizador da rotação do nosso planeta em torno do seu
eixo. No entanto, a Lua está se afastando da Terra e a mudança
desta ação gravitacional, daqui a milhares de anos, provocará
uma alteração no eixo de rotação da Terra. Esta mudança se
refletirá sob a forma de fortes alterações climáticas no nosso
planeta.
Massa, peso e a interação
gravitacional
A expressão da Lei da Gravitação
Universal proposta por Newton envolve uma grandeza física
fundamental: a massa. Mas, afinal, o que é massa?
Na
linguagem popular massa e peso têm sido usados para significar
a mesma coisa. Para a física essas duas grandezas estão
relacionadas mas são completamente diferentes.
Preste
atenção na lei da gravitação universal:
Essa lei descreve a força de atração entre dois
corpos de massas M e m, situados a uma distância d. No
entanto, a segunda lei de Newton nos diz que, se a massa é
mantida constante, força é igual à massa do corpo multiplicada
pela sua aceleração.
Vamos então considerar o sistema
Terra-(você), onde M é a massa da Terra e m é a massa do
leitor. Como você está na superfície da Terra, a distância
Terra-você é apenas o raio da Terra. Pela segunda lei de
Newton F = ma refere-se à aceleração sofrida pela massa que
forma o teu corpo. Podemos então igualar as duas expressões
acima, a lei da gravitação universal e a segunda lei de
Newton, obtendo
Como os dois "m" se referem à massa do teu
corpo, é fácil ver que
Veja então que para calcularmos a aceleração
produzida pela gravidade da Terra temos que obter o produto da
constante universal da gravitação G pela massa da Terra
M, e em seguida dividir este resultado pelo raio da
Terra, r, elevado ao quadrado.
O cálculo acima
é apenas aproximado. Por que? Pelo fato de estarmos supondo
que a Terra é redonda (na verdade a forma da Terra é a de um
esferóide oblatado!) e, portanto, o seu raio é sempre o mesmo.
Também introduz erro o fato de estarmos desprezando o raio do
objeto (no caso, você!) em relação ao raio da Terra em toda
essa discussão. Podemos ficar tranquilo porque os erros
introduzidos são aburdamente pequenos para criar qualquer
problema no resultado final do nosso problema (estou
discartando desta análise todos os participantes do curso com
raios maiores do que um metro!).
Se agora
substituirmos os valores numérios nesta expressão ou seja, G =
6,67 x 10-11 newtons
metro2/quilograma2, massa da Terra =
5,99 x 1024 kg, e raio (médio) da Terra = 6,367 x
106 metros, iremos obter
Este
é o valor da aceleração que o campo gravitacional da Terra
exerce sobre o seu corpo.
Podemos generalizar a
equação acima obtendo a expressão que nos dá a aceleração da
gravidade criada por um corpo qualquer de massa M a uma
distância d qualquer:
A partir do conhecimento da aceleração da
gravidade criada por um corpo qualquer de massa M podemos
determinar uma outra grandeza física importante relacionada
com a massa ou seja, o peso do corpo. O peso de um corpo é
definido como sendo o produto de sua massa pela aceleração da
gravidade que atua sobre ele. Veja, portanto, que o peso de um
corpo de massa m colocado na superfície da Terra é obtido
multiplicando-se sua massa m pela aceleração que o campo
gravitacional da Terra produz sobre a superfície do nosso
planeta.
A expressão matemática do peso é dada por
onde g é a aceleração gravitacional que atua
sobre o corpo de massa m.
É importante notar que, no
âmbito da física clássica newtoniana, a grandeza massa é
invariável. No entanto, a grandeza peso varia: ela depende do
valor da aceleração da gravidade que está atuando sobre o
corpo de massa m. Enquanto a massa de um corpo é a mesma
estando ele na superfície da Terra ou em qualquer outro
planeta, seu peso não é o mesmo pois o campo gravitacional, e
dai a aceleração da gravidade, varia para cada planeta. Por
exemplo, como a Lua possui um campo gravitacional
aproximadamente seis vezes menor do que o da Terra, um corpo
de massa m na Terra teria a mesma massa mas um peso muito
menor na Lua.
Poderíamos questionar: se, pela segunda
lei de Newton, F = ma (massa vezes aceleração) e se o peso de
um corpo de massa m é dado por P = mg (massa vezes aceleração)
então força é o mesmo que peso. Na verdade, o peso é uma força
sim mas nem sempre a expressão da força dada pela segunda lei
de Newton está nos informando qual o peso de um corpo. Isso se
deve ao fato de que na segunda lei de Newton, a aceleração
considerada é qualquer uma capaz de fazer variar a velocidade
de um corpo enquanto que na expressão do peso a aceleração
considerada é sempre aquela produzida por um campo
gravitacional.
Um outro ponto importante é que a massa
m usada tanto na segunda lei de Newton como na sua lei
da gravitação universal desempenha dois importantes papéis:
- na segunda lei de Newton, F = ma
a massa m é
uma medida de quão fortemente um corpo é acelerado por uma
dada força. Ela é uma medida da inércia de um
corpo. Quando está desempenhando este papel dizemos que
m é uma massa inercial.
- na lei da gravitação universal, m é uma medida de
quão fortemente um corpo é afetado pela força da gravidade e
também quão forte é a força gravitacional gerada por
m.
Quando está desempenhando este papel dizemos
que m é uma massa gravitacional. Estas
duas quantidades referem-se a propriedades diferentes de um
corpo e não necessariamente deveriam ser iguais. No entanto,
medições extremamente precisas indicam que elas são
iguais.
A teoria da gravitação proposta por
Newton é mesmo universal?
Já vimos que a teoria
clássica da gravitação é descrita pela lei de Newton
da Gravitação Universal. Como o nome pode nos levar a
crer, essa é uma teoria que vale "universalmente": todos os
corpos existentes no universo sentem interações gravitacionais
que são dadas pela mesma expressão matemática descoberta por
Isaac Newton.
No entanto, isso não é verdade. A teoria
da gravitação de Newton é absolutamente satisfatória quando
tratamos de processos de interação entre corpos macroscópicos
em um universo local. O que queremos dizer é que, ao levarmos
em conta a estrutura geométrica do universo ou seja, os
fenômenos que resultam do fato da matéria criar uma curvatura
no espaço-tempo, a teoria de Newton já não é mais
satisfatória. Neste caso ela precisou ser substituída por uma
outra teoria que levava em consideração esta geometria: a
teoria relativística da gravitação que nos foi apresentada por
Albert Einstein.
A teoria da gravitação de Einstein,
também chamada de Teoria da Relatividade Geral, nos descreve
de que modo matéria e espaço-tempo interagem. Na verdade, a
interação gravitacional seria melhor chamada de
Geometrodinâmica, termo proposto pelo físico
norte-americano John Wheeler, uma vez que a relatividade geral
geometriza a gravitação.
No entanto, como veremos mais
tarde, para descrever os estágios iniciais da formação do
Universo nem mesmo a teoria relativística da gravitação é
satisfatória. Precisamos agora de uma nova teoria, uma
teoria quântica da gravitação.
Até agora os
físicos ainda não possuem uma teoria como essa, apesar dos
enormes esforços desenvolvidos para isto. Existe uma
incompatibilidade, ainda não compreendida, entre a teoria
relativística da gravitação e a teoria quântica.
As
dificuldades para criar uma teoria quantizada para a
gravitação têm sido muito grandes: a matemática envolvida é
excepcionalmente sofisticada e os conceitos físicos estão na
fronteira do nosso conhecimento e imaginação.
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