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ENEM 2020 - A1 - D2 - Q 150
Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado:
\(Q(t) = Q_0 \cdot 2^{-\frac{t}{5730}}\)
em que \(t\) é o tempo, medido em anos, \(Q(t)\) é a quantidade de carbono 14 medida no instante \(t\) e \(Q_0\) é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente.
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas.
| Fóssil | \(Q_0\) | \(Q(t)\) |
|---|---|---|
| 1 | 128 | 32 |
| 2 | 256 | 8 |
| 3 | 512 | 64 |
| 4 | 1024 | 512 |
| 5 | 2048 | 128 |
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
RESOLUÇÃO:
Para determinar o fóssil mais antigo, precisamos calcular a idade de cada fóssil usando a fórmula do decaimento exponencial do carbono-14:
\( Q(t) = Q_0 \cdot 2^{-\frac{t}{5730}} \)
Reorganizando a fórmula para resolver para \( t \):
\( \frac{Q(t)}{Q_0} = 2^{-\frac{t}{5730}} \)
Tomando o logaritmo dos dois lados:
\( \log \left( \frac{Q(t)}{Q_0} \right) = \log \left( 2^{-\frac{t}{5730}} \right) \)
Usando a propriedade dos logaritmos:
\( \log \left( \frac{Q(t)}{Q_0} \right) = -\frac{t}{5730} \log 2 \)
Resolvendo para \( t \):
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{Q(t)}{Q_0} \right)}{\log 2} \)
Cálculo das Idades dos Fósseis
Para o fóssil 1:
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{32}{128} \right)}{\log 2} \)
\( t =-5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{1}{4} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log (2^{-2})}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{-2 \log 2}{\log 2} \)
\( t = 2 \cdot 5730 \)
\( t = 11460 \, \text{anos} \)
Para o fóssil 2:
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{8}{256} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{1}{32} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log (2^{-5})}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{-5 \log 2}{\log 2} \)
\( t = 5 \cdot 5730 \)
\( t = 28650 \, \text{anos} \)
Para o fóssil 3:
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{64}{512} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{1}{8} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log (2^{-3})}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{-3 \log 2}{\log 2} \)
\( t = 3 \cdot 5730 \)
\( t = 17190 \, \text{anos} \)
Para o fóssil 4:
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{512}{1024} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{1}{2} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log (2^{-1})}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{- \log 2}{\log 2} \)
\( t = 1 \cdot 5730 \)
\( t = 5730 \, \text{anos} \)
Para o fóssil 5:
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{128}{2048} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log \left( \frac{1}{16} \right)}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{\log (2^{-4})}{\log 2} \)
\( t = -5730 \cdot \frac{-4 \log 2}{\log 2} \)
\( t = 4 \cdot 5730 \)
\( t = 22920 \, \text{anos} \)
Conclusão
Portanto, o fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi o fóssil 2, com uma idade de \( 28650 \, \text{anos} \).
Resposta correta: (B) Fóssil 2