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A luminosidade \( L \) de uma estrela está relacionada com o raio \( R \) e com a temperatura \( T \) dessa estrela segundo a Lei de Stefan-Boltzmann: \( L = c \cdot R^2 \cdot T^4 \), em que \( c \) é uma constante igual para todas as estrelas.
Disponível em: http://ciencia.hsw.uol.com.br. Acesso em: 22 nov. 2013 (adaptado).
Considere duas estrelas \( E \) e \( F \), sendo que a estrela \( E \) tem metade do raio da estrela \( F \) e o dobro da temperatura de \( F \).
Indique por \( L_E \) e \( L_F \) suas respectivas luminosidades. A relação entre as luminosidades dessas duas estrelas é dada por:
(A) \( L_E = \frac{L_F}{2} \)
(B) \( L_E = \frac{L_F}{4} \)
(C) \( L_E = L_F \)
(D) \( L_E = 4L_F \)
(E) \( L_E = 8L_F \)
RESOLUÇÃO:
Dada a Lei de Stefan-Boltzmann:
\( L = c \cdot R^2 \cdot T^4 \)
Temos:
- \( L_E \) = luminosidade da estrela \( E \)
- \( L_F \) = luminosidade da estrela \( F \)
- A estrela \( E \) tem metade do raio da estrela
\( F \) ( \( R_E = \frac{1}{2}R_F \)) - A estrela \( E \) tem o dobro da temperatura da estrela \( F \)
( \( T_E = 2T_F \))
Substituindo essas relações na Lei de Stefan-Boltzmann:
Para a estrela \( E \):
\( L_E = c \cdot (R_E)^2 \cdot (T_E)^4 \)
\( L_E = c \cdot \left(\frac{1}{2}R_F\right)^2 \cdot (2T_F)^4 \)
Simplificando:
\( L_E = c \cdot \left(\frac{1}{4}R_F^2\right) \cdot (16T_F^4) \)
\( L_E = c \cdot \frac{1}{4} \cdot 16 \cdot R_F^2 \cdot T_F^4 \)
\( L_E = c \cdot 4 \cdot R_F^2 \cdot T_F^4 \)
Para a estrela \( F \):
\( L_F = c \cdot R_F^2 \cdot T_F^4 \)
Comparando \( L_E \) e \( L_F \):
\( L_E = 4 \cdot L_F \)
Portanto, a resposta correta é
(D) \( L_E = 4L_F \)