Nessa situação, em quantos minutos o nadador completará a prova?
ENEM 2024/119
Para resolver essa questão, precisamos calcular o tempo que o nadador levará para percorrer cada trecho do circuito, levando em consideração a corrente marinha.
Primeiro, vamos analisar os trechos horizontais (1 a 2 e 3 a 4), onde a corrente marinha atua paralelamente ao movimento do nadador.
A velocidade do nadador em relação ao solo será a soma vetorial da velocidade do nadador em relação à água (\( \vec{v_n} \)) e da velocidade da corrente (\( \vec{v_c} \)).
Para o trecho de 1 a 2:
\( \vec{v_n} = 50 \, \text{m/min} \)
\( \vec{v_c} = 30 \, \text{m/min} \)
Como a corrente está a favor do nadador, a velocidade resultante será:
\( v_{r1} = v_n + v_c = 50 + 30 = 80 \, \text{m/min} \)
Para o trecho de 3 a 4:
\( \vec{v_n} = 50 \, \text{m/min} \)
\( \vec{v_c} = 30 \, \text{m/min} \)
Como a corrente está contra o nadador, a velocidade resultante será:
\( v_{r2} = v_n - v_c = 50 - 30 = 20 \, \text{m/min} \)
Agora, vamos calcular o tempo para percorrer cada trecho horizontal:
Distância de 1 a 2: 800 m
Tempo de 1 a 2: \( t_{1-2} = \frac{800}{80} = 10 \, \text{minutos} \)
Distância de 3 a 4: 800 m
Tempo de 3 a 4: \( t_{3-4} = \frac{800}{20} = 40 \, \text{minutos} \)
Agora, vamos analisar os trechos verticais (2 a 3 e 4 a 1), onde a corrente marinha atua perpendicularmente ao movimento do nadador.
Para esses trechos, a velocidade do nadador em relação ao solo será a mesma que a velocidade em relação à água, pois a corrente não afeta a velocidade na direção perpendicular:
\( v_{n} = 50 \, \text{m/min} \)
Distância de 2 a 3: 400 m
Tempo de 2 a 3: \( t_{2-3} = \frac{400}{50} = 8 \, \text{minutos} \)
Distância de 4 a 1: 400 m
Tempo de 4 a 1: \( t_{4-1} = \frac{400}{50} = 8 \, \text{minutos} \)
Finalmente, somamos todos os tempos para obter o tempo total da prova:
Tempo total = \( t_{1-2} + t_{2-3} + t_{3-4} + t_{4-1} \)
Tempo total = \( 10 \, \text{min} + 8 \, \text{min} + 40 \, \text{min} + 8 \, \text{min} = 66 \, \text{min} \)
Portanto, a alternativa mais próxima é:
(B) 65.
Esta questão envolve o conceito de composição de velocidades, especificamente a combinação da velocidade do nadador com a velocidade da corrente marinha.
Primeiro, analisaremos o trecho de 1 até 2 e de 3 até 4, onde o nadador precisa compensar a corrente. A velocidade do nadador em relação à água é de 50 m/min, e a velocidade da corrente é de 30 m/min. Como a corrente é paralela à praia e o nadador nada em uma direção que forma um ângulo com a praia, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a velocidade efetiva do nadador em relação à praia.
Seja \( v_n \) a velocidade do nadador em relação à água, \( v_c \) a velocidade da corrente e \( v_r \) a velocidade resultante do nadador em relação à praia. Como o nadador se move perpendicularmente à corrente, temos:
\( v_r = \sqrt{v_n^2 - v_c^2} \)
\( v_r = \sqrt{50^2 - 30^2} \)
\( v_r = \sqrt{2500 - 900} \)
\( v_r = \sqrt{1600} \)
\( v_r = 40 \text{ m/min} \)
A distância entre as boias 1 e 2 e entre 3 e 4 é de 800 m. O tempo gasto nesses trechos é:
\( t = \frac{d}{v} \)
\( t = \frac{800 \text{ m}}{40 \text{ m/min}} \)
\( t = 20 \text{ min} \)
Como há dois trechos de 800 m, o tempo total nesses trechos é \( 2 \times 20 = 40 \text{ min} \).
Agora, analisaremos os trechos de 2 até 3 e de 4 até 1. Nesses trechos, o nadador nada a favor ou contra a corrente. A velocidade resultante será a soma ou a diferença das velocidades.
No trecho de 2 até 3, o nadador nada a favor da corrente: \( v_r = 50 + 30 = 80 \text{ m/min} \). A distância é de 400 m. O tempo gasto é:
\( t = \frac{400 \text{ m}}{80 \text{ m/min}} = 5 \text{ min} \)
No trecho de 4 até 1, o nadador nada contra a corrente: \( v_r = 50 - 30 = 20 \text{ m/min} \). A distância é de 400 m. O tempo gasto é:
\( t = \frac{400 \text{ m}}{20 \text{ m/min}} = 20 \text{ min} \)
O tempo total para completar a prova é a soma dos tempos em todos os trechos: \( 40 + 5 + 20 = 65 \text{ min} \).
Portanto, a alternativa correta é:
(B) 65.