Para determinar a razão entre os alcances horizontais \(\frac{D_d}{D_m}\), analisamos as relações da Lei de Hooke, da energia potencial elástica e do lançamento oblíquo.

1. Relação entre a força aplicada e a deformação (Lei de Hooke):

A força elástica aplicada é dada por:

\[ F = k \cdot x \implies x = \frac{F}{k} \]

Como a mesma força \(F\) é aplicada em ambos os estilingues:

\[ x_d = \frac{F}{k_d} \]

\[ x_m = \frac{F}{k_m} \]

Dado que \(k_d = 2k_m\), temos:

\[ x_d = \frac{F}{2k_m} = \frac{x_m}{2} \]

2. Conservação da energia mecânica no disparo:

A energia potencial elástica armazenada na borracha é totalmente convertida em energia cinética do projetil de massa \(m\):

\[ E_{pe} = E_c \implies \frac{k \cdot x^2}{2} = \frac{m \cdot v^2}{2} \]

\[ m \cdot v^2 = k \cdot x^2 \]

Substituindo \(x = \frac{F}{k}\):

\[ m \cdot v^2 = k \cdot \left(\frac{F}{k}\right)^2 = \frac{F^2}{k} \]

\[ v^2 = \frac{F^2}{m \cdot k} \]

3. Alcance horizontal no lançamento oblíquo:

Para um mesmo ângulo de lançamento e nas mesmas condições, o alcance horizontal \(D\) é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade inicial (\(v^2\)):

\[ D = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g} \]

Substituindo a expressão de \(v^2\):

\[ D = \frac{F^2}{m \cdot g \cdot \sin(2\theta)} \cdot \frac{1}{k} \]

Como \(F\), \(m\), \(g\) e \(\theta\) são constantes em ambos os arremessos, o alcance \(D\) é inversamente proporcional à constante elástica \(k\):

\[ D \propto \frac{1}{k} \]

4. Cálculo da razão entre os alcances:

\[ \frac{D_d}{D_m} = \frac{\frac{1}{k_d}}{\frac{1}{k_m}} = \frac{k_m}{k_d} \]

Como \(k_d = 2k_m\):

\[ \frac{D_d}{D_m} = \frac{k_m}{2k_m} = \frac{1}{2} \]

A razão entre os alcances dos estilingues com borrachas dura e mole é igual a \(\frac{1}{2}\), o que corresponde à alternativa (B).

Resposta: (B)