Eletricidade e Magnetismo
Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme
Nível:
Ensino Médio / Superior
Módulo do vetor campo elétrico gerado por uma carga elétrica puntiforme q a uma distância r no vácuo ou meio homogêneo.
$$E = k_e \frac{|q|}{r^2}$$
Campo Magnético no Interior de um Solenóide
Nível:
Ensino Médio / Superior
Calcula o campo magnético uniforme no interior de uma bobina longa (solenóide) com n espiras por unidade de comprimento.
$$B = \mu_0 n I$$
Capacitor — Carga
Nível:
Ensino Médio
Relaciona carga armazenada com tensão aplicada.
$$Q = CV$$
Energia Armazenada em um Indutor
Nível:
Superior
Energia potencial magnética armazenada em um indutor de autoindutância L percorrido por corrente I.
$$U = \frac{1}{2} L I^2$$
Energia no Capacitor
Nível:
Ensino Médio / Superior
Energia armazenada no campo elétrico de um capacitor.
$$U = \frac{1}{2}CV^2$$
Equação da Onda Eletromagnética
Nível:
Superior
Descreve propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo.
$$\nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \partial_{tt} \vec{E}$$
Equação de Circuito RL
Nível:
Superior
Modelo para crescimento de corrente em circuitos RL.
$$I(t) = \frac{V_0}{R} (1 - e^{-Rt/L})$$
Equação de Circuito RLC
Nível:
Superior
Modelo para osciladores elétricos amortecidos.
$$\ddot{q} + \frac{R}{L} \dot{q} + \frac{1}{LC} q = 0$$
Equação de Helmholtz para Ondas Eletromagnéticas
Nível:
Superior
Modelo de ondas eletromagnéticas estacionárias em meios lineares.
$$\nabla^2 E + k^2 E = 0$$
Equação de Maxwell em Forma Tensorial
Nível:
Avançado
Forma covariante das equações de Maxwell.
$$\partial_{\mu} F^{\mu\nu} = J^{\nu}$$
Equação de Maxwell Fracionária
Nível:
Avançado
Modelos eletromagnéticos com operadores fracionários.
$$\nabla^\alpha \cdot \vec{E} = \rho$$
Equação de Maxwell para Materiais Não Lineares
Nível:
Avançado
Modela meios dielétricos não lineares.
$$\nabla \times \vec{H} = \partial_t (\epsilon(E) \vec{E})$$
Equação de Maxwell para Meio Condutor
Nível:
Superior
Modela campos em meios condutores.
$$\nabla \times \vec{H} = \sigma \vec{E} + \epsilon \partial_t \vec{E}$$
Equação de Maxwell para Meios Não Lineares
Nível:
Avançado
Modela meios dielétricos com resposta não linear.
$$\nabla\times\vec{H} = \partial_t(\epsilon(E)\vec{E})$$
Equação de Maxwell-Faraday (Forma Diferencial)
Nível:
Superior
Relaciona variação temporal do campo magnético ao campo elétrico induzido.
$$\nabla \times \vec{E} = -\partial_t \vec{B}$$
Força Magnética sobre Carga em Movimento
Nível:
Ensino Médio / Superior
Força de Lorentz exercida sobre uma partícula carregada com carga q movendo-se com velocidade \vec{v} imersa em um campo magnético \vec{B}.
$$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$$
Força Magnética sobre Condutor Retilíneo
Nível:
Ensino Médio / Superior
Força magnética exercida sobre um fio condutor de comprimento L percorrido por uma corrente I imerso em um campo magnético uniforme \vec{B}.
$$\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})$$
Frequência de Ressonância em Circuito RLC
Nível:
Superior / Engenharia
Frequência na qual as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam, maximizando a corrente do circuito RLC.
$$f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$
Ganho de Tensão do Amplificador Inversor
Nível:
Superior
Relação de amplificação linear em circuitos com amplificadores operacionais.
$$V_{out} = -\frac{R_f}{R_{in}} V_{in}$$
Impedância de Circuito RLC
Nível:
Superior
Define oposição total à corrente alternada em circuitos ressonantes.
$$Z = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$$
Impedância em Circuito RLC Série
Nível:
Superior / Engenharia
Resistência total equivalente (impedância Z) oferecida por uma associação série de resistor, indutor e capacitor à corrente alternada.
$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$
Lei da Indução de Faraday
Nível:
Superior / Engenharia
Terceira equação de Maxwell na forma integral/diferencial resumida, determinando que uma variação no fluxo magnético \Phi_B induz uma força eletromotriz \mathcal{E}.
$$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$$
Lei das Malhas
Nível:
Ensino Médio / Superior
A soma das tensões em uma malha fechada é zero.
$$\sum V = 0$$
Lei de Ampère
Nível:
Superior
Campo magnético ao redor de correntes estacionárias.
$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I$$
Lei de Ampère-Maxwell
Nível:
Superior / Engenharia
Quarta equação de Maxwell, mostrando que campos magnéticos são gerados por correntes elétricas e por variações temporais do campo elétrico.
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
Lei de Ampère-Maxwell
Nível:
Superior / Avançado
Inclui a corrente de deslocamento, completando o conjunto das equações de Maxwell.
$$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
Lei de Biot-Savart
Nível:
Superior / Engenharia
Calcula o campo magnético elemental gerado por um elemento de corrente elétrica (Id\vec{l}) no espaço.
$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}$$
Lei de Coulomb
Nível:
Ensino Médio / Superior
Calcula a força elétrica estática entre duas cargas puntiformes q_1 e q_2 separadas por uma distância r, onde k_e é a constante eletrostática do meio.
$$F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$
Lei de Faraday da Indução
Nível:
Superior
Relaciona variação temporal do fluxo magnético à força eletromotriz induzida.
$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$
Lei de Gauss — Campo Elétrico
Nível:
Superior
Fluxo elétrico total é proporcional à carga interna.
$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
Lei de Gauss — Magnetismo
Nível:
Superior
Não existem monopólos magnéticos.
$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0$$
Lei de Ohm
Nível:
Ensino Médio
Relaciona a ddp (tensão elétrica V) aplicada a um resistor com a intensidade da corrente elétrica I que o percorre e sua resistência elétrica R.
$$V = R I$$
Lei de Ohm (Forma Diferencial)
Nível:
Superior
Relaciona densidade de corrente ao campo elétrico em materiais condutores.
$$\vec{J} = \sigma \vec{E}$$
Lei de Ohm Diferencial
Nível:
Superior
Relaciona densidade de corrente ao campo elétrico.
$$\vec{J} = \sigma \vec{E}$$
Lei dos Nós
Nível:
Ensino Médio / Superior
Conservação de corrente elétrica em um nó.
$$\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$$
Potência Elétrica Dissipada
Nível:
Ensino Médio
Mede a taxa com que a energia elétrica é convertida em outras formas de energia (como calor por efeito Joule) em um circuito.
$$P = V I = R I^2 = \frac{V^2}{R}$$
Reatância Capacitiva
Nível:
Superior / Engenharia
Oposição oferecida por um capacitor em circuitos de corrente alternada.
$$X_C = \frac{1}{\omega C}$$
Reatância Indutiva
Nível:
Superior / Engenharia
Oposição que um indutor oferece à passagem de corrente alternada de frequência f.
$$X_L = \omega L = 2\pi f L$$
Teorema de De Morgan
Nível:
Ensino Médio / Superior
Identidade fundamental para simplificação de portas lógicas digitais.
$$\overline{A + B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$$
Transformada Z
Nível:
Superior
Ferramenta essencial para análise de sistemas discretos, controle digital e processamento de sinais.
$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$
Transitório de Carga de Capacitor RC
Nível:
Superior
Modela a resposta temporal de carregamento em circuitos RC.
$$V_c(t) = V_0 \left(1 - e^{-t/(RC)}
ight)$$
Física Médica e Biofísica
Ácido Cítrico
Nível:
Superior
Ácido orgânico tricarboxílico interveniente central no ciclo de Krebs.
$$\text{C}_6\text{H}_8\text{O}_7$$
Constante de Tempo do Circuito da Membrana Celular
Nível:
Superior
Caracteriza a resposta temporal de carregamento elétrico da membrana celular em modelos neuronais.
$$\tau = R_m C_m$$
Definição de Dose Absorvida
Nível:
Superior
Mede a energia média depositada por radiação ionizante por unidade de massa de matéria.
$$D = \frac{dE}{dm}$$
Dose Efetiva
Nível:
Superior
Soma ponderada das doses equivalentes nos diferentes tecidos e órgãos do corpo humano.
$$E = \sum_T W_T H_T$$
Dose Equivalente
Nível:
Superior
Pondera a dose absorvida pelo fator de peso biológico do tipo de radiação R.
$$H_T = \sum_R W_R D_{T,R}$$
Equação de Atenuação em Ultrassom
Nível:
Superior
Modela atenuação da intensidade acústica em tecidos biológicos.
$$I = I_0 e^{-\alpha f x}$$
Equação de Ativação Neural (Modelo Integrate-and-Fire)
Nível:
Superior
Modelo simplificado para potencial de membrana neuronal.
$$\tau \frac{dV}{dt} = -V + RI$$
Equação de Beer-Lambert para Fotometria Biomédica
Nível:
Superior
Relaciona absorvância óptica com concentração de substâncias em tecidos biológicos.
$$A = \epsilon c L$$
Equação de Bloch (RMN)
Nível:
Avançado
Equações fundamentais para dinâmica do magnetismo nuclear.
$$\frac{d\vec{M}}{dt} = \gamma \vec{M} \times \vec{B} - \frac{M_x}{T_2}\hat{i} - \frac{M_y}{T_2}\hat{j} - \frac{M_z - M_0}{T_1}\hat{k}$$
Equação de Bragg-Kleeman (Alcance de Prótons)
Nível:
Superior
Modela o alcance de prótons em tecidos para planejamento de radioterapia.
$$R = a E^b$$
Equação de Cable para Axônios
Nível:
Superior
Modela propagação elétrica ao longo de dendritos e axônios.
$$\partial_t V = D \partial_{xx}V - \frac{V}{\tau}$$
Equação de Conversão de Dose em CTDI
Nível:
Superior
Define índice de dose em tomografia computadorizada.
$$CTDI = \frac{1}{nT} \int D(z) \, dz$$
Equação de Conversão Kerma–Dose
Nível:
Superior
Relaciona kerma com dose absorvida considerando fração de energia perdida por radiação secundária.
$$D = K (1 - g)$$
Equação de Difusão de Fótons em Tecidos
Nível:
Avançado
Modelo para transporte difusivo de fótons em tecidos biológicos.
$$\partial_t \Phi = D \nabla^2 \Phi - \mu_a \Phi + S$$
Equação de Difusão de Nêutrons Multigrupo
Nível:
Avançado
Modelo multigrupo para fluxo de nêutrons.
$$-\nabla\cdot(D_g \nabla \phi_g) + \Sigma_{a,g}\phi_g = \sum_{g'\ne g} \Sigma_{s,g'\to g}\phi_{g'} + S_g$$
Equação de Difusão de Oxigênio em Tumores
Nível:
Superior
Modela consumo e difusão de oxigênio em tecidos tumorais.
$$\partial_t C = D \nabla^2 C - k C$$
Equação de Difusão de Sinal em RM (Tensorial)
Nível:
Avançado
Modelo tensorial para difusão anisotrópica.
$$S(b) = S_0 e^{-b \vec{g}^T D \vec{g}}$$
Equação de Dose Biológica (BED)
Nível:
Superior
Calcula dose biológica equivalente em radioterapia.
$$BED = nd \left(1 + \frac{d}{\alpha/\beta}\right)$$
Equação de Dose em Radiologia Diagnóstica
Nível:
Superior
Modelo simplificado para dose em exames radiológicos.
$$D = \frac{I_0}{A} t$$
Equação de Dose em Radioterapia
Nível:
Superior
Relaciona fluência de partículas com dose absorvida em radioterapia.
$$D = \Phi \cdot S$$
Equação de Fick para Difusão em Membranas
Nível:
Superior
Descreve o fluxo difusivo de substâncias através de membranas biológicas.
$$J = -D \frac{dC}{dx}$$
Equação de Formação de Imagem por RM (Transformada de Fourier)
Nível:
Avançado
Base matemática da formação de imagens por RM.
$$S(k_x,k_y) = \iint M(x,y) e^{-i(k_x x + k_y y)} \, dx \, dy$$
Equação de Formação de Imagem por RM 3D
Nível:
Avançado
Base matemática da RM tridimensional.
$$S(k_x,k_y,k_z) = \iiint M(x,y,z) e^{-i(k_x x + k_y y + k_z z)} dxdydz$$
Equação de Formação de Imagem por TC (Transformada de Radon)
Nível:
Avançado
Base matemática da tomografia computadorizada.
$$R(\theta, s) = \int f(x,y) \delta(x\cos\theta + y\sin\theta - s) \, dx \, dy$$
Equação de Goldman-Hodgkin-Katz
Nível:
Superior
Determina o potencial de membrana em repouso considerando a permeabilidade a múltiplos íons.
$$V_m = \frac{RT}{F} \ln\left(\frac{P_K[K]_o + P_{Na}[Na]_o + P_{Cl}[Cl]_i}{P_K[K]_i + P_{Na}[Na]_i + P_{Cl}[Cl]_o}\right)$$
Equação de Hill (Saturação de Ligantes)
Nível:
Superior
Modela a cooperação e saturação na ligação de ligantes a macromoléculas biológicas (como oxigênio à hemoglobina).
$$Y = \frac{[L]^n}{K_d + [L]^n}$$
Equação de Hodgkin-Huxley (Condutância Iônica)
Nível:
Avançado
Modelo fundamental para correntes iônicas em neurônios.
$$I = g(V - E)$$
Equação de Hodgkin-Huxley Completa
Nível:
Avançado
Modelo biológico completo para geração de potenciais de ação.
$$C_m \frac{dV}{dt} = -g_{Na}m^3h(V-E_{Na}) - g_K n^4(V-E_K) - g_L(V-E_L) + I_{ext}$$
Equação de Hodgkin-Huxley Simplificada
Nível:
Superior
Versão reduzida do modelo HH para correntes totais.
$$C_m \frac{dV}{dt} = -g(V - E) + I_{ext}$$
Equação de Kerma
Nível:
Superior
Define energia cinética transferida por radiação ionizante por unidade de massa.
$$K = \frac{dE_{tr}}{dm}$$
Equação de Larmor
Nível:
Superior
Define a frequência de precessão dos spins nucleares em RM.
$$\omega_0 = \gamma B_0$$
Equação de Lineweaver-Burk
Nível:
Superior
Representação linearizada da cinética de Michaelis-Menten para determinação de parâmetros.
$$\frac{1}{v} = \frac{K_m}{V_{max}} \frac{1}{[S]} + \frac{1}{V_{max}}$$
Equação de Michaelis-Menten
Nível:
Superior
Modela cinética enzimática em sistemas biológicos.
$$v = \frac{V_{max}[S]}{K_m + [S]}$$
Equação de Nernst
Nível:
Superior
Calcula o potencial de equilíbrio eletroquímico para um íon através de uma membrana celular semipermeável.
$$E = \frac{RT}{zF} \ln\left(\frac{[C]_o}{[C]_i}\right)$$
Equação de Poiseuille Aplicada ao Fluxo Sanguíneo
Nível:
Superior
Modela o fluxo sanguíneo laminar em vasos sanguíneos cilíndricos.
$$Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}$$
Equação de Produção de Raios-X (Bremsstrahlung)
Nível:
Superior
Modela produção de raios-X por desaceleração de elétrons.
$$I \propto Z I_0 E$$
Equação de Range-Energy para Elétrons
Nível:
Superior
Modelo empírico para alcance de elétrons em tecidos.
$$R = 0.412 E^{1.265} - 0.0954 \ln(E)$$
Equação de Reconstrução por Retroprojeção Filtrada
Nível:
Avançado
Método padrão de reconstrução de imagens em tomografia.
$$f(x,y) = \int_{0}^{\pi} (R_{\theta} * h)(x\cos\theta + y\sin\theta) \, d\theta$$
Equação de Reconstrução Tomográfica 3D
Nível:
Avançado
Método de retroprojeção filtrada tridimensional.
$$f(x,y,z) = \int (R_\theta * h)(x\cos\theta + y\sin\theta, z) d\theta$$
Equação de Relaxação T1
Nível:
Superior
Modela recuperação longitudinal do magnetismo nuclear.
$$M_z(t) = M_0 \left(1 - e^{-t/T_1}\right)$$
Equação de Relaxação T2
Nível:
Superior
Modela decaimento transversal do magnetismo nuclear.
$$M_{xy}(t) = M_0 e^{-t/T_2}$$
Equação de Resolução em Ultrassom
Nível:
Superior
Define resolução axial em sistemas de ultrassom.
$$\Delta r = \frac{c}{2 f}$$
Equação de Resolução Espacial em RM
Nível:
Superior
Relaciona resolução espacial ao limite máximo de amostragem no espaço-k.
$$\Delta x = \frac{1}{2 k_{max}}$$
Equação de Resposta Linear Quadrática (LQ)
Nível:
Superior
Modelo para sobrevivência celular após radiação.
$$S = e^{-\alpha D - \beta D^2}$$
Equação de SNR em RM
Nível:
Superior
Modela relação sinal-ruído em imagens de RM.
$$SNR \propto \frac{B_0^{3/2}}{\sqrt{R}}$$
Equação de Transferência Radiativa para Tecidos
Nível:
Avançado
Modelo completo para espalhamento e absorção de luz em meios biológicos.
$$\hat{s}\cdot\nabla L = -\mu_t L + \mu_s \int p(\hat{s},\hat{s}')L d\hat{s}' + S$$
Equação de Transporte de Energia em Reatores
Nível:
Superior
Modela distribuição térmica em núcleos de reatores.
$$\partial_t T = D_T \nabla^2 T + Q_f$$
Equação de Transporte de Fármacos com Perfusão
Nível:
Avançado
Inclui perfusão sanguínea no transporte de drogas.
$$\partial_t C = D \nabla^2 C - k C + P(C_{blood} - C)$$
Equação de Transporte de Fótons em Radioterapia
Nível:
Superior
Modela transporte de fótons em planejamento radioterápico.
$$\partial_t I + c\hat{n}\cdot\nabla I = -\mu I + S$$
Equação de Transporte de Sinal Neural
Nível:
Superior
Modela propagação passiva de sinais em axônios.
$$\partial_t V = D \partial_{xx} V - \frac{V}{\tau}$$
Equilíbrio de Donnan
Nível:
Avançado
Descreve a distribuição de íons permeáveis através de uma membrana na presença de íons impermeáveis.
$$[K^+]_i [Cl^-]_i = [K^+]_o [Cl^-]_o$$
Fator de Multiplicação Efetivo
Nível:
Avançado
Mede o estado de criticidade de um reator nuclear comparando a produção com as perdas por absorção e vazamento.
$$k_{\text{eff}} = \frac{F}{A + L}$$
O aminoácido mais simples e o único não quiral encontrado em proteínas.
$$\text{NH}_2\text{CH}_2\text{COOH}$$
Monossacarídeo essencial para o metabolismo energético celular e respiração.
$$\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6$$
Lei de Atenuação Linear da Radiação
Nível:
Ensino Médio / Superior
Descreve a atenuação da intensidade de um feixe de radiação ao atravessar uma espessura x de material.
$$I = I_0 e^{-\mu x}$$
Lei de Lambert para Atenuação Óptica em Tecidos
Nível:
Superior
Modela a atenuação da luz em tecidos devido à absorção óptica.
$$I = I_0 e^{-\mu_a L}$$
Lei do Inverso do Quadrado da Distância para Radiação
Nível:
Ensino Médio
Relaciona a intensidade da radiação com o quadrado da distância à fonte pontual.
$$I_2 = I_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$$
Seção de Choque Macroscópica
Nível:
Superior
Probabilidade por unidade de comprimento de uma interação de nêutrons em um meio material.
$$\Sigma = n \sigma$$
Composto orgânico nitrogenado, principal forma de excreção de nitrogênio em mamíferos.
$$\text{CO(NH}_2\text{)_2}$$
Física Quântica e Moderna
Comprimento de Onda de De Broglie
Nível:
Superior
Associa comportamento ondulatório a partículas materiais.
$$\lambda = \frac{h}{p}$$
Comprimento de Onda de de Broglie
Nível:
Superior
Relaciona momento linear à natureza ondulatória da matéria.
$$\lambda = \frac{h}{p}$$
Comutador Posição-Momento
Nível:
Superior
Relação fundamental entre operadores conjugados.
$$[x,p] = i\hbar$$
Efeito Fotoelétrico
Nível:
Ensino Médio / Superior
Relaciona a energia cinética máxima K_{\max} dos elétrons arrancados de um metal com a energia do fóton incidente (hf) e a função trabalho (\phi).
$$K_{\max} = hf - \phi$$
Equação de Bethe-Bloch (Perda de Energia de Íons Pesados)
Nível:
Avançado
Modelo para perda de energia de partículas carregadas pesadas em matéria.
$$-\frac{dE}{dx} = K \frac{z^2}{\beta^2} \left[ \ln\left(\frac{2m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{I}\right) - \beta^2 \right]$$
Equação de Bloch
Nível:
Superior
Define estados eletrônicos em cristais periódicos.
$$\psi_k(x) = e^{ikx}u_k(x)$$
Equação de Difusão Neutrônica
Nível:
Avançado
Modelo para fluxo de nêutrons em reatores nucleares.
$$D\nabla^2 \phi - \Sigma_a \phi + S = 0$$
Equação de Dirac
Nível:
Avançado
Equação relativística para férmions, incorporando spin 1/2.
$$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi = 0$$
Equação de Dirac com Potencial Escalar
Nível:
Avançado
Inclui interação escalar em férmions relativísticos.
$$i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - (m + S(x))\psi = 0$$
Equação de Dirac com Potencial Vetorial
Nível:
Avançado
Modela interação eletromagnética relativística de férmions.
$$i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu} - iA_{\mu})\psi - m\psi = 0$$
Equação de Dirac em 2D (Grafeno)
Nível:
Avançado
Modelo para elétrons quase-relativísticos em grafeno.
$$i\partial_t \psi = v_F(\sigma_x p_x + \sigma_y p_y)\psi$$
Equação de Dirac em 3D
Nível:
Avançado
Versão completa da equação de Dirac em três dimensões.
$$i\gamma^\mu \partial_\mu \psi - m\psi = 0$$
Equação de Dirac–Bogoliubov–de Gennes
Nível:
Avançado
Modelo para quasipartículas em supercondutores.
$$H_{BdG}\Psi = E\Psi$$
Equação de Dirac–Majorana
Nível:
Avançado
Modelo para férmions de Majorana, candidatos a neutrinos reais.
$$i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - m\psi = 0, \; \psi = \psi^c$$
Equação de Dirac–Pauli
Nível:
Avançado
Inclui momento magnético anômalo de férmions.
$$i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - m\psi - \frac{\mu}{2}\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\psi = 0$$
Equação de Euler-Lagrange para Campos
Nível:
Avançado
Equação fundamental para campos clássicos e quânticos.
$$\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0$$
Equação de Ginzburg–Landau
Nível:
Avançado
Modelo fenomenológico para supercondutores.
$$-\alpha\psi + \beta|\psi|^2\psi - \frac{1}{2m}(\nabla - iqA)^2\psi = 0$$
Equação de Josephson
Nível:
Superior
Relaciona fase quântica e tensão em junções Josephson.
$$\frac{d\phi}{dt} = \frac{2e}{\hbar}V$$
Equação de Josephson AC
Nível:
Superior
Modelo para corrente alternada em junções Josephson.
$$I = I_c \sin(\phi_0 + \omega_J t)$$
Equação de Josephson DC
Nível:
Superior
Modelo para corrente contínua em junções Josephson.
$$I = I_c \sin \phi$$
Equação de Klein-Gordon
Nível:
Avançado
Equação relativística para campos escalares.
$$(\Box + m^2) \phi = 0$$
Equação de Klein-Gordon com Potencial
Nível:
Superior
Versão com potencial externo para campos escalares relativísticos.
$$\Box \phi + (m^2 + V(x))\phi = 0$$
Equação de Kronig–Penney
Nível:
Superior
Modelo analítico para bandas de energia em sólidos.
$$\cos(kL) = \cos(\alpha L) + \frac{P}{\alpha}\sin(\alpha L)$$
Equação de London
Nível:
Superior
Modelo para corrente supercondutora e efeito Meissner.
$$\nabla \times \vec{J} = -\frac{n_s q^2}{m}\vec{B}$$
Equação de Proca
Nível:
Avançado
Descreve campos vetoriais massivos.
$$(\Box + m^2)A^{\mu} = 0$$
Equação de Proca com Fonte
Nível:
Avançado
Inclui fontes externas para campos vetoriais massivos.
$$\Box A^{\mu} + m^2 A^{\mu} = J^{\mu}$$
Equação de Schrödinger (Dependente do Tempo)
Nível:
Superior / Avançado
Equação fundamental da mecânica quântica não relativística, que rege a evolução temporal da função de onda \psi de um sistema quântico sob a ação de um potencial V.
$$i\hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t) \right) \psi(\mathbf{r},t)$$
Equação de Schrödinger com Potencial
Nível:
Superior
Inclui potencial externo, modelando sistemas ligados.
$$i\hbar \partial_t \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi$$
Equação de Schrödinger Dependente do Tempo
Nível:
Avançado
Descreve evolução temporal de estados quânticos.
$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi$$
Equação de Schrödinger Estocástica
Nível:
Avançado
Modela sistemas quânticos abertos sujeitos a ruído e dissipação.
$$i\hbar \partial_t |\psi\rangle = \left(\hat{H} + \sum_k \hat{L}_k \xi_k(t)\right)|\psi\rangle$$
Equação de Schrödinger Estocástica (Campo Quântico)
Nível:
Avançado
Inclui ruído quântico na evolução temporal.
$$i\partial_t \psi = H\psi + \xi(t)$$
Equação de Schrödinger Independente do Tempo
Nível:
Superior / Avançado
Equação fundamental que descreve estados estacionários de sistemas quânticos.
$$\hat{H}\Psi = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Barreira de Potencial
Nível:
Superior
Base para tunelamento quântico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + V(x)\Psi = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Campo de Spin
Nível:
Avançado
Modelo quântico para campos com spin.
$$i\partial_t \psi_s = -\nabla^2 \psi_s + V_s \psi_s$$
Equação de Schrödinger para Campo de Spin Fracionário
Nível:
Avançado
Modelo fracionário para campos quânticos com spin.
$$i\partial_t \psi_s = -(-\nabla^2)^{\alpha/2} \psi_s + V_s(\psi_s)$$
Equação de Schrödinger para Campo Escalar
Nível:
Avançado
Modelo quântico de campos escalares.
$$i\partial_t \phi = -\nabla^2 \phi + V(\phi)$$
Equação de Schrödinger para Campo Vetorial
Nível:
Avançado
Modelo quântico de campos vetoriais.
$$i\partial_t A_i = -\nabla^2 A_i + V(A_i)$$
Equação de Schrödinger para Campo Vetorial Fracionário
Nível:
Avançado
Extensão fracionária da dinâmica de campos vetoriais em teorias quânticas.
$$i\partial_t A_i = -(-\nabla^2)^{\alpha/2} A_i + V(A_i)$$
Equação de Schrödinger para Dupla Barreira
Nível:
Superior
Modelo para tunelamento ressonante em estruturas quânticas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0[H(x+a)-H(x-a)]\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Hidrogênio
Nível:
Avançado
Modelo fundamental da estrutura atômica.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\Psi = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Oscilador Harmônico
Nível:
Superior
Modelo fundamental para vibrações quânticas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \Psi = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Partícula em Caixa 3D
Nível:
Superior
Modelo tridimensional de confinamento quântico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Partícula em Campo Magnético
Nível:
Avançado
Inclui interação com campos eletromagnéticos.
$$i\hbar \partial_t \Psi = \frac{1}{2m}(\vec{p} - q\vec{A})^2 \Psi + q\phi \Psi$$
Equação de Schrödinger para Partícula Livre
Nível:
Superior
Descreve evolução de uma partícula sem potencial externo.
$$i\hbar \partial_t \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi$$
Equação de Schrödinger para Partícula Relativística (Dirac Simplificada)
Nível:
Avançado
Versão simplificada da equação de Dirac.
$$i\hbar \partial_t \psi = c\vec{\alpha}\cdot\vec{p}\psi + \beta mc^2 \psi$$
Equação de Schrödinger para Poço Finito
Nível:
Superior
Modela confinamento parcial e tunelamento.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' + V_0 \Psi = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Poço Finito Assimétrico
Nível:
Superior
Modelo para confinamento assimétrico em sistemas quânticos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V(x)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Poço Infinito
Nível:
Superior
Modelo básico de confinamento quântico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \Psi'' = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Aleatório
Nível:
Superior
Modela desordem e localização de Anderson.
$$i\partial_t \psi = -\nabla^2 \psi + V(x)\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Aleatório 2D
Nível:
Superior
Modelo para desordem bidimensional e localização de Anderson.
$$i\partial_t \psi = -\nabla^2 \psi + V(x,y)\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Aleatório 3D
Nível:
Avançado
Modelo tridimensional para desordem quântica.
$$i\partial_t \psi = -\nabla^2 \psi + V(x,y,z)\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Cornell
Nível:
Avançado
Modelo para confinamento de quarks em QCD.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + (ar - \frac{b}{r})\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Anel Quântico
Nível:
Superior
Modelo para anéis quânticos usados em dispositivos nanoeletrônicos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0 H(r-R_1)H(R_2-r)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Lattice
Nível:
Avançado
Modelo para simulações de materiais cristalinos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_{\text{lattice}}(x)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Lennard-Jones
Nível:
Superior
Modelo para interação entre átomos neutros.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + 4\epsilon[(\frac{\sigma}{x})^{12} - (\frac{\sigma}{x})^6]\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Aleatório
Nível:
Avançado
Modelo para desordem e localização de Anderson.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_{rand}(x)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Aleatório
Nível:
Avançado
Modelo para degraus aleatórios em sistemas quânticos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + A\xi(x)H(|x|-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degraus Múltiplos
Nível:
Superior
Modelo para barreiras múltiplas em dispositivos quânticos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \sum_i V_i H(x-x_i)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Modulação Aleatória
Nível:
Avançado
Modelo para desordem aleatória em nanoestruturas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + (V_0 + A\xi(x))\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Ruído
Nível:
Avançado
Modelo para desordem estocástica em sistemas quânticos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + (V_0 + \eta(x))\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Multicamadas
Nível:
Avançado
Modelo para heteroestruturas semicondutoras multicamadas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \sum_i V_i H(x-x_i)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Periódico
Nível:
Avançado
Modelo para redes cristalinas unidimensionais.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 \sum_n H(x-nL)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Rede Tridimensional
Nível:
Avançado
Modelo para sólidos tridimensionais periódicos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V(x+L_x,y+L_y,z+L_z)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Degrau
Nível:
Superior
Modelo básico de espalhamento quântico em barreiras simples.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(x)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Harmônico 3D
Nível:
Superior
Modelo tridimensional de oscilador quântico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 \Psi = E\Psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Hexagonal (Grafeno)
Nível:
Avançado
Modelo para elétrons em redes hexagonais como grafeno.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_{hex}(x,y)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Hulthén
Nível:
Avançado
Modelo de interação de curto alcance semelhante ao Yukawa.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' - V_0 \frac{e^{-ax}}{1-e^{-ax}}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Kratzer
Nível:
Superior
Modelo para vibrações rotacionais de moléculas diatômicas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \left(\frac{A}{x^2} - \frac{B}{x}\right)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Morse
Nível:
Superior
Modelo para vibrações moleculares.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + D(e^{-2ax} - 2e^{-ax})\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Periódico 2D
Nível:
Avançado
Modelo para cristais bidimensionais.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V(x+L_x,y+L_y)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Periódico Geral
Nível:
Avançado
Modelo geral para potenciais periódicos em sólidos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V(x+L)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Quadrático
Nível:
Superior
Modelo quântico com potencial parabólico.
$$i\partial_t \psi = -\nabla^2\psi + x^2\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Quartico
Nível:
Avançado
Modelo quântico não linear usado em física de campos.
$$i\partial_t \psi = -\nabla^2\psi + x^4\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Square-Well Finito
Nível:
Superior
Modelo clássico de confinamento com poço finito.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 \Theta(|x|-a)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Woods–Saxon
Nível:
Avançado
Modelo realista para potenciais nucleares.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' - \frac{V_0}{1+e^{(x-R)/a}}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Yukawa
Nível:
Avançado
Modelo de interação nuclear de curto alcance.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' - g\frac{e^{-\mu r}}{r}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Redes Quânticas
Nível:
Avançado
Modelo tight-binding para redes cristalinas.
$$i\partial_t \Psi_n = -J(\Psi_{n+1} + \Psi_{n-1}) + V_n \Psi_n$$
Equação de Schrödinger para Spin-1/2
Nível:
Avançado
Modela precessão de spin em campos magnéticos.
$$i\hbar \partial_t \Psi = (\vec{\sigma}\cdot\vec{B})\Psi$$
Equação de Schrödinger Radial
Nível:
Avançado
Usada em sistemas com simetria esférica, como átomo de hidrogênio.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left( u'' - \frac{l(l+1)}{r^2}u \right) + V(r)u = Eu$$
Equação de Vlasov
Nível:
Avançado
Modelo cinético para plasmas collisionless.
$$\partial_t f + \vec{v}\cdot\nabla_x f + \frac{\vec{F}}{m}\cdot\nabla_v f = 0$$
Equação de Yang-Mills
Nível:
Avançado
Equação fundamental de teorias de calibre não abelianas.
$$D_{\mu}F^{\mu\nu} = J^{\nu}$$
Estado Emaranhado de Bell
Nível:
Avançado
Representa um estado biquântico maximalmente emaranhado.
$$|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$
Evolução de Estado Quântico Unitário
Nível:
Superior
Descreve a dinâmica de circuitos quânticos sob operadores unitários.
$$|\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle$$
Fórmula de Planck para a Energia do Fóton
Nível:
Ensino Médio / Superior
Estabelece que a energia de um fóton quantizado é diretamente proporcional à frequência f da radiação, sendo h a constante de Planck.
$$E = h f$$
Lei do Decaimento Radioativo (Atividade)
Nível:
Ensino Médio / Superior
Relaciona a atividade radioativa de uma amostra com o número de núcleos radioativos e a constante de decaimento.
$$A = \lambda N$$
Porta Quântica CNOT
Nível:
Superior
Porta fundamental para criação de emaranhamento.
$$\mathrm{CNOT} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$$
Porta Quântica de Hadamard
Nível:
Superior
Cria estados de superposição quântica a partir de estados base.
$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
Porta Quântica Pauli-X
Nível:
Superior
Equivalente quântico da porta NOT.
$$X = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$
Porta Quântica Pauli-Y
Nível:
Superior
Gera rotações quânticas com fase complexa.
$$Y = \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix}$$
Porta Quântica Pauli-Z
Nível:
Superior
Inverte a fase do estado |1⟩.
$$Z = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$
Princípio da Incerteza de Heisenberg
Nível:
Superior
Estabelece um limite fundamental na mecânica quântica para a precisão simultânea com que se podem medir pares de observáveis conjugados, como posição x e momento p.
$$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$
Princípio da Incerteza de Heisenberg
Nível:
Superior
Limite fundamental da precisão simultânea de posição e momento.
$$\Delta x \, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$
Schrödinger — Independente do Tempo
Nível:
Superior
Equação fundamental para estados estacionários.
$$H\psi = E\psi$$
Transformada de Fourier Quântica (QFT)
Nível:
Avançado
Operador fundamental em algoritmos quânticos.
$$|k\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} e^{2\pi i jk/N} |j\rangle$$
Matemática Aplicada e Computacional
Aceleração como Derivada Segunda da Posição
Nível:
Superior
Na mecânica, a aceleração é obtida pela derivada temporal da velocidade e, consequentemente, pela derivada segunda da função horária da posição em relação ao tempo.
$$a(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right) = \frac{d^2s}{dt^2}$$
Autovalores e Autovetores
Nível:
Superior
Usados para modos normais de vibração, estados quânticos, estabilidade de sistemas e transformações lineares.
$$\det(A - \lambda I) = 0$$
Carga Elétrica Total a partir da Corrente (Integral)
Nível:
Superior
Permite determinar a quantidade total de carga elétrica Q que atravessa a seção transversal de um condutor num intervalo de tempo, integrando a função da corrente elétrica variável I(t).
$$Q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) \, dt$$
Coeficiente de Correlação de Pearson
Nível:
Superior
Mede a força e a direção da correlação linear entre duas variáveis.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$
Coeficiente de Determinação (R²)
Nível:
Superior
Mede a proporção da variância na variável dependente que é previsível a partir das independentes.
$$R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$
Covariância Estatística
Nível:
Superior
Mede a variabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias.
$$\operatorname{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])]$$
Decomposição em Valores Singulares (SVD)
Nível:
Avançado
Fatoração matricial essencial em ciência de dados, compressão e SVD.
$$A = U \Sigma V^T$$
Desigualdade de Chebyshev
Nível:
Superior
Garante que a proporção de valores que se afastam da média seja limitada.
$$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$$
Desvio-Padrão
Nível:
Ensino Médio / Superior
Raiz quadrada da variância, amplamente usada em física experimental.
$$\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$
Determinante de Matriz 2x2
Nível:
Superior
Fórmula analítica para o determinante de matrizes de ordem 2.
$$\det(A) = ad - bc$$
Determinante e Produto Vetorial (Matriz 3x3)
Nível:
Ensino Médio / Superior
O cálculo do determinante de uma matriz simbólica 3x3 define o produto vetorial entre dois vetores físicos, gerando grandezas fundamentais como o torque, momento angular e força magnética.
$$\vec{u} \times \vec{v} = \det\begin{pmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{pmatrix}$$
Determinante por Expansão de Laplace
Nível:
Superior
Cálculo de determinantes através da expansão em cofatores.
$$\det(A) = \sum_{j} (-1)^{i+j} A_{ij} \det(M_{ij})$$
Diagonalização de Matrizes
Nível:
Superior
Simplifica sistemas lineares, resolve EDOs acopladas e modela sistemas físicos com simetrias.
$$A = P D P^{-1}$$
Distância entre Dois Pontos no Espaço
Nível:
Ensino Médio / Superior
Equação fundamental para trajetórias, colisões, óptica geométrica e mecânica.
$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$
Distribuição Beta
Nível:
Superior
Modela proporções e probabilidades em sistemas biológicos e físicos.
$$f(x; a, b) = \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$$
Distribuição Binomial
Nível:
Ensino Médio / Superior
Descreve o sucesso em n tentativas independentes de Bernoulli.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
Distribuição Cauchy-Lorentz
Nível:
Superior
Usada em espectroscopia e ressonância para modelar picos de energia.
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(x-x_0)^2 + \gamma^2}$$
Distribuição de Bernoulli
Nível:
Ensino Médio
Modelo para eventos binários simples.
$$P(X=1)=p, \; P(X=0)=1-p$$
Distribuição de Gumbel
Nível:
Superior
Usada em modelagem de eventos extremos.
$$f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-(z + e^{-z})}, \; z = \frac{x-\mu}{\beta}$$
Distribuição de Pareto
Nível:
Superior
Modela fenômenos com caudas longas, como renda e falhas mecânicas.
$$f(x) = \frac{\alpha x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}$$
Distribuição de Poisson
Nível:
Superior
Modela a probabilidade de um número de eventos ocorrendo em um intervalo fixo.
$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
Distribuição de Rayleigh
Nível:
Superior
Modela amplitudes de sinais combinados em física e telecomunicações.
$$f(x; \sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2 / (2\sigma^2)} \quad (x \ge 0)$$
Distribuição de Weibull
Nível:
Superior
Usada em análise de confiabilidade, fadiga de materiais e estatística de falhas.
$$f(x; \lambda, k) = \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}$$
Distribuição Exponencial
Nível:
Superior
Modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson.
$$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \ge 0)$$
Distribuição F de Fisher-Snedecor
Nível:
Avançado
Usada em testes de variância e regressão.
$$f(x) = \frac{\sqrt{\frac{(d_1 x)^{d_1} d_2^{d_2}}{(d_1 x + d_2)^{d_1 + d_2}}}}{x B(d_1/2, d_2/2)}$$
Distribuição Gamma
Nível:
Superior
Usada em modelagem de tempos de vida e processos biológicos.
$$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k) \theta^k}$$
Distribuição Geométrica
Nível:
Superior
Modela número de tentativas até o primeiro sucesso.
$$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$$
Distribuição Hipergeométrica
Nível:
Superior
Modela amostragem sem reposição.
$$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$
Distribuição Laplace
Nível:
Superior
Modela ruído com caudas mais pesadas que a normal.
$$f(x) = \frac{1}{2b} e^{-|x-\mu|/b}$$
Distribuição Log-Normal
Nível:
Superior
Modela grandezas biológicas e físicas que crescem multiplicativamente.
$$f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/(2\sigma^2)}$$
Distribuição Logística
Nível:
Superior
Modelo para crescimento populacional e funções de ativação.
$$f(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$$
Distribuição Multinomial
Nível:
Superior
Generalização da distribuição binomial para múltiplas categorias.
$$P(X_1,...,X_k) = \frac{n!}{x_1!...x_k!} p_1^{x_1}...p_k^{x_k}$$
Distribuição Normal (Gaussiana)
Nível:
Superior
Função densidade da distribuição normal, fundamental em análise de erros experimentais e ruído físico.
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
Distribuição t de Student
Nível:
Avançado
Usada para estimar médias de populações com amostras pequenas.
$$f(t) = \frac{\Gamma(\nu+1/2)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\nu/2)} \left(1 + \frac{t^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$
Distribuição Uniforme Contínua
Nível:
Ensino Médio / Superior
Modelo para variáveis igualmente prováveis.
$$f(x) = \frac{1}{b-a}, \; a \le x \le b$$
Distribuição Uniforme Discreta
Nível:
Ensino Médio
Modelo para eventos discretos igualmente prováveis.
$$P(X=k) = \frac{1}{n}$$
Divergente de Campo Vetorial
Nível:
Superior
Mede a presença de fontes ou sumidouros em um campo vetorial, fundamental em equações de Maxwell e dinâmica de fluidos.
$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$
EDO de Decaimento Radioativo
Nível:
Superior
Equação diferencial ordinária de 1ª ordem que descreve a desintegração espontânea de núcleos atômicos instáveis ao longo do tempo, onde \lambda é a constante de decaimento do isótopo.
$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N \implies N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$
EDO do Oscilador Harmônico Amortecido
Nível:
Superior / Avançado
EDO linear homogênea de 2ª ordem que modela o comportamento de sistemas oscilatórios reais sujeitos a forças dissipativas de atrito ou resistência viscosa (coeficiente b).
$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0$$
Entropia de Shannon
Nível:
Avançado
Mede a incerteza ou quantidade de informação de uma variável aleatória.
$$H(X) = -\sum P(x) \log_2 P(x)$$
Equação da Onda
Nível:
Superior
Descreve ondas mecânicas, acústicas e eletromagnéticas.
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$
Equação de Advecção Não Linear
Nível:
Superior
Modelo básico de transporte não linear.
$$\partial_t u + u\partial_x u = 0$$
Equação de Airy
Nível:
Superior
Modela difração, óptica e comportamento de partículas em potenciais lineares.
$$y'' - xy = 0$$
Equação de Autovalores e Autovetores
Nível:
Superior
Relaciona uma transformação linear, seu autovetor e autovalor correspondente.
$$Av = \lambda v$$
Equação de Black-Scholes
Nível:
Superior
Modelo diferencial para precificação de opções financeiras, usado também em física estatística.
$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$
Equação de Cauchy-Euler
Nível:
Superior
Equação diferencial com coeficientes proporcionais a potências de x.
$$x^2 y'' + axy' + by = 0$$
Equação de Chapman-Kolmogorov
Nível:
Avançado
Base para processos de Markov contínuos.
$$P(x,t+s) = \int P(x,t|y,s)P(y,s) dy$$
Equação de Chebyshev
Nível:
Superior
Importante em aproximação numérica e teoria de polinômios ortogonais.
$$(1-x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0$$
Equação de Difusão (Calor)
Nível:
Superior / Engenharia
Modela condução térmica, difusão química e processos estocásticos.
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$
Equação de Difusão com Fonte
Nível:
Superior
Modela difusão com termo de geração ou absorção.
$$\partial_t u = D \nabla^2 u + S(x,t)$$
Equação de Difusão com Reação
Nível:
Superior
Modela difusão com termo de reação química ou biológica.
$$\partial_t u = D\nabla^2 u + R(u)$$
Equação de Difusão Fracionária
Nível:
Avançado
Modela difusão anômala com operadores fracionários.
$$\partial_t u = -(-\nabla^2)^{\alpha/2} u$$
Equação de Difusão Fracionária Multidimensional
Nível:
Avançado
Generaliza difusão para operadores fracionários em várias dimensões.
$$\partial_t u = -(-\nabla^2)^{\alpha/2} u$$
Equação de Dirac em 1D
Nível:
Superior
Versão reduzida da equação de Dirac para sistemas unidimensionais.
$$i\partial_t \psi = -i\sigma_x\partial_x \psi + m\sigma_z\psi$$
Equação de Dirac–Weyl
Nível:
Superior
Modelo para partículas sem massa como neutrinos idealizados.
$$i\partial_t \psi = -i\vec{\sigma}\cdot\nabla \psi$$
Equação de Evolução do Parâmetro de Ordem (Campo Escalar)
Nível:
Avançado
Modelo para dinâmica de campos escalares em transições de fase.
$$\partial_t \phi = -\Gamma \frac{\delta F}{\delta \phi}$$
Equação de Fisher-KPP
Nível:
Superior
Modela difusão com crescimento populacional, usada em biologia e física estatística.
$$\frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + ru(1-u)$$
Equação de Heat com Fonte Exponencial
Nível:
Superior
Modela difusão térmica com fonte decrescente.
$$\partial_t u = k \nabla^2 u + \alpha e^{-t}$$
Equação de Heat Não Linear
Nível:
Superior
Modelo de difusão não linear (equação porosa).
$$\partial_t u = \nabla^2(u^m)$$
Equação de Helmholtz
Nível:
Superior / Avançado
Equação diferencial que surge na separação de variáveis de problemas de propagação de ondas harmônicas no tempo, onde k representa o número de onda.
$$\nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0$$
Equação de Laplace
Nível:
Superior / Avançado
Equação diferencial parcial elíptica fundamental que descreve potenciais em regiões livres de fontes, campos eletrostáticos no vácuo e estados estacionários de temperatura.
$$\nabla^2 \phi = 0$$
Equação de Laplace em Coordenadas Cilíndricas
Nível:
Superior
Aplicada em problemas de condução térmica e eletrostática com simetria cilíndrica.
$$\nabla^2 f = f_{rr} + \frac{1}{r}f_r + \frac{1}{r^2}f_{\phi\phi} + f_{zz}$$
Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas
Nível:
Avançado
Usada em problemas com simetria esférica, como campos gravitacionais e elétricos.
$$\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2 f_r) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta f_\theta) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} f_{\phi\phi}$$
Equação de Laplace Fracionária
Nível:
Avançado
Generalização fracionária da equação de Laplace.
$$(-\nabla^2)^{\alpha/2} u = 0$$
Equação de Laplace-Beltrami
Nível:
Avançado
Generalização do operador de Laplace para variedades curvas, essencial em relatividade geral.
$$\Delta_g f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_i \left( \sqrt{|g|} g^{ij} \partial_j f \right)$$
Equação de Master para Processos de Markov
Nível:
Avançado
Modelo fundamental para sistemas estocásticos com estados discretos.
$$\frac{dP_i}{dt} = \sum_j (W_{ji}P_j - W_{ij}P_i)$$
Equação de Onda Fracionária
Nível:
Avançado
Modelo para ondas anômalas em meios complexos.
$$\partial_t^2 u = -(-\nabla^2)^{\alpha/2} u$$
Equação de Poisson
Nível:
Superior / Avançado
Generalização da equação de Laplace para meios que contêm distribuições de fontes (como carga elétrica \rho ou massa), ligando o potencial à densidade de fonte.
$$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
Equação de Riccati
Nível:
Superior
EDO não linear com aplicações em controle, física quântica e relatividade.
$$\frac{dy}{dt} = a(t) + b(t)y + c(t)y^2$$
Equação de Ricci Flow
Nível:
Avançado
Fluxo geométrico usado em topologia e relatividade.
$$\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$$
Equação de Schrödinger Fracionária
Nível:
Avançado
Modelo quântico com operadores fracionários.
$$i\partial_t \psi = (-\nabla^2)^{\alpha/2} \psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Anharmônico
Nível:
Avançado
Modelo para vibrações moleculares não harmônicas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + (ax^2 + bx^4)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Arbitrário nD
Nível:
Superior
Forma geral para sistemas quânticos multidimensionais.
$$i\partial_t \psi = -\nabla^2 \psi + V(\vec{r})\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Cosenoidal
Nível:
Superior
Modelo para bandas eletrônicas em cristais.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0\cos(ax)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Caixa Retangular 2D
Nível:
Superior
Modelo para confinamento retangular bidimensional.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}(\partial_x^2 + \partial_y^2)\psi + V_0 H(|x|-a)H(|y|-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Caixa Retangular 3D
Nível:
Superior
Modelo tridimensional de confinamento retangular.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0 H(|x|-a)H(|y|-b)H(|z|-c)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Circular
Nível:
Superior
Modelo para confinamento circular bidimensional.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0 H(R - r)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Barreira Assimétrica
Nível:
Superior
Modelo para barreiras assimétricas em sistemas quânticos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_L H(-x-a) + V_R H(x-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Barreira Externa
Nível:
Superior
Modelo para confinamento com barreiras externas adicionais.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + V_1 H(|x|-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Barreira Interna
Nível:
Superior
Modelo para poços com barreiras internas acopladas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(|x|-a) + V_1 H(b-|x|)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Duplo
Nível:
Avançado
Modelo para múltiplos degraus de potencial.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + V_1 H(|x|-b) + V_2 H(|x|-c)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Exponencial
Nível:
Superior
Modelo para degraus com decaimento exponencial.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + V_1 e^{-kx}H(|x|-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Externo
Nível:
Superior
Modelo para poços com degraus externos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + V_1 H(x-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Interno
Nível:
Superior
Modelo para poços com degraus internos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(|x|-a) + V_1 H(x)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Logarítmico
Nível:
Superior
Modelo para degraus com crescimento logarítmico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + V_1 \ln(1+|x|)H(|x|-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Oscilante
Nível:
Avançado
Modelo para degraus modulados sinusoidalmente.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + A\sin(kx)H(|x|-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Degrau Quadrático
Nível:
Superior
Modelo para degraus com variação quadrática de potencial.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(a-|x|) + V_1 x^2 H(|x|-b)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Dupla Barreira Interna
Nível:
Avançado
Modelo para tunelamento quântico em barreiras múltiplas internas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 H(|x|-a) + V_1[H(|x|-b)-H(|x|-c)]\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço com Oscilações
Nível:
Superior
Modelo para potenciais modulados periodicamente.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + (V_0 + A\sin(kx))\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Cônico
Nível:
Superior
Modelo para confinamento cônico em sistemas quânticos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0(1 - \frac{r}{R})\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Elíptico
Nível:
Superior
Modelo para confinamento anisotrópico elíptico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0(1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2})\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Esférico
Nível:
Superior
Modelo tridimensional de confinamento esférico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0 H(R - r)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Gaussiano
Nível:
Superior
Modelo suave de confinamento quântico com perfil gaussiano.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 e^{-x^2/a^2}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Paraboloide
Nível:
Superior
Modelo para confinamento paraboloidal.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0(1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2})\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Piramidal
Nível:
Avançado
Modelo geométrico para confinamento piramidal.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0(1 - \frac{|x|}{a} - \frac{|y|}{b})\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Toroidal
Nível:
Avançado
Modelo para confinamento toroidal usado em física de plasmas e nanoestruturas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_{torus}(r,\theta)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial de Poço Triplo
Nível:
Superior
Modelo para múltiplos poços quânticos acoplados.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0[H(x+a)+H(x)+H(x-a)]\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Delta
Nível:
Superior
Modelo idealizado de poço de potencial pontual.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' - \alpha \delta(x)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Eckart
Nível:
Avançado
Potencial usado em modelos de barreiras suaves.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 \frac{e^{-ax}}{(1+e^{-ax})^2}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Exponencial
Nível:
Superior
Modelo para barreiras exponenciais.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0 e^{-ax}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Gaussiano 2D
Nível:
Superior
Modelo suave de confinamento quântico bidimensional com perfil gaussiano.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}(\partial_x^2 + \partial_y^2)\psi + V_0 e^{-(x^2+y^2)/a^2}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Gaussiano 3D
Nível:
Superior
Modelo tridimensional de confinamento quântico suave.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V_0 e^{-r^2/a^2}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Harmônico Anisotrópico
Nível:
Avançado
Modelo tridimensional anisotrópico usado em armadilhas atômicas.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + (k_x x^2 + k_y y^2 + k_z z^2)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Linear
Nível:
Superior
Modelo para partículas em campos lineares.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + ar\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Logarítmico
Nível:
Avançado
Modelo quântico com potencial logarítmico, usado em sistemas confinados.
$$i\partial_t \psi = -\nabla^2\psi + \ln(1 + x^2)\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Logístico
Nível:
Superior
Modelo suave de barreira com forma logística.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \frac{1}{1+e^{-ax}}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Parabólico Invertido 2D
Nível:
Avançado
Modelo instável usado em caos quântico multidimensional.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}(\partial_x^2 + \partial_y^2)\psi - (x^2 + y^2)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Pöschl–Teller
Nível:
Avançado
Potencial exatamente solúvel usado em modelos de espalhamento.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \frac{V_0}{\cosh^2(ax)}\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Quadrático Invertido
Nível:
Avançado
Modelo instável usado em estudos de caos quântico.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' - x^2\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Quartico 2D
Nível:
Avançado
Modelo não linear multidimensional usado em física de campos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}(\partial_x^2 + \partial_y^2)\psi + (x^4 + y^4)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Rosen–Morse
Nível:
Avançado
Potencial exatamente solúvel com aplicações em supersimetria quântica.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + (-A\tanh x + B\,\text{sech}^2 x)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Senoidal
Nível:
Superior
Modelo para partículas em potenciais periódicos.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V_0\sin(ax)\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger para Potencial Triangular
Nível:
Superior
Modelo para campos lineares crescentes.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + ax\psi = E\psi$$
Equação de Schrödinger Relativística (Salpeter)
Nível:
Avançado
Versão relativística da equação de Schrödinger usando operador raiz.
$$i\partial_t \psi = \sqrt{-\nabla^2 + m^2}\,\psi$$
Equação de Transporte de Calor Fracionária
Nível:
Superior
Modela condução térmica não local.
$$\partial_t u = k (-\nabla^2)^{\alpha/2} u$$
Equação de Transporte Linear
Nível:
Superior
Modela propagação de sinais, ondas sem dispersão e advecção em fluidos.
$$\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0$$
Equação Diferencial de Bessel
Nível:
Superior / Avançado
Equação diferencial ordinária de segunda ordem que surge naturalmente na resolução de problemas físicos com simetria cilíndrica, como vibrações de membranas e guias de ondas.
$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0$$
Equação Diferencial de Hermite
Nível:
Superior / Avançado
Equação diferencial ordinária que aparece na mecânica quântica ao resolver os estados estacionários do oscilador harmônico, gerando os polinômios ortogonais de Hermite.
$$\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + 2ny = 0$$
Equação Diferencial de Legendre
Nível:
Superior / Avançado
Equação diferencial ordinária que aparece na resolução de problemas com simetria esférica (coordenadas esféricas), cujas soluções geram os polinômios de Legendre.
$$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + l(l+1)y = 0$$
Equação Geral do Plano
Nível:
Superior
Define superfícies planas em 3D, essenciais em mecânica, colisões e computação gráfica.
$$ax + by + cz + d = 0$$
Equação Paramétrica da Reta
Nível:
Ensino Médio / Superior
Usada para descrever trajetórias, movimentos retilíneos e raios de luz.
$$\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\vec{v}$$
Equações de Cauchy-Riemann
Nível:
Superior / Avançado
Condições necessárias e suficientes para que uma função complexa seja analítica (diferenciável), fundamentais em eletrostática bidimensional e escoamento de fluidos.
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
Escala Logarítmica em Fenômenos Físicos
Nível:
Ensino Médio / Superior
Funções logarítmicas utilizadas para comprimir vastas faixas de valores numéricos em escalas lineares manejáveis, aplicadas na intensidade sonora (decibéis), química (pH) e sismologia (Richter).
$$L = 10 \log_{10}\left(\frac{X}{X_0}\right)$$
Estatística Qui-Quadrado
Nível:
Superior
Usada em testes de hipóteses para avaliar aderência ou independência de dados.
$$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$
Exponencial de uma Matriz
Nível:
Avançado
Série analítica usada na resolução de sistemas de EDOs lineares.
$$e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!}$$
Forma Quadrática
Nível:
Superior
Polinômio homogêneo de segundo grau associado a matrizes simétricas.
$$Q(x) = x^T A x$$
Função de Verossimilhança
Nível:
Avançado
Mede a plausibilidade de um conjunto de parâmetros dado um conjunto de observações.
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta)$$
Função Geradora de Momentos
Nível:
Avançado
Ferramenta para cálculo de momentos e cumulantes.
$$M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]$$
Função Geradora de Probabilidades
Nível:
Avançado
Usada para estudar distribuições discretas.
$$G_X(s) = \mathbb{E}[s^X]$$
Gradiente de Campo Escalar
Nível:
Superior
Indica a direção de maior crescimento de um campo escalar, essencial em potenciais elétricos, gravitacionais e térmicos.
$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$
Matriz Adjunta (Cofatores Transposta)
Nível:
Superior
Transposta da matriz de cofatores aplicada na inversão algébrica.
$$\operatorname{adj}(A) = C^T$$
Matriz Antissimétrica
Nível:
Superior
Matriz cuja transposta é igual ao seu oposto aditivo.
$$A^T = -A$$
Matriz de Permutação
Nível:
Superior
Matriz quadrada binária que rearranja linhas ou colunas.
$$P^T P = I$$
Matriz de Rotação 2D (Transformação de Coordenadas)
Nível:
Ensino Médio / Superior
Operação matricial utilizada na Física para transformar as coordenadas cartesianas de vetores de posição ou campos quando o sistema de referência sofre uma rotação de um ângulo \theta.
$$\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
Matriz Hermitiana
Nível:
Superior
Matriz complexa igual à sua transposta conjugada.
$$H^\dagger = H$$
Matriz Inversa
Nível:
Superior
Matriz que, multiplicada pela original, resulta na matriz identidade.
$$A A^{-1} = I$$
Matriz Jacobiana
Nível:
Superior / Engenharia
Usada em transformações de coordenadas, mecânica analítica, robótica e fluidos.
$$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \end{pmatrix}$$
Matriz Ortogonal
Nível:
Superior
Matriz cujas colunas e linhas formam bases ortonormais.
$$Q^T Q = I$$
Matriz Unitária
Nível:
Superior
Operador linear complexo que preserva o produto interno.
$$U^\dagger U = I$$
Multiplicação de Matrizes
Nível:
Superior
Define o produto algébrico entre duas matrizes compatíveis.
$$(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$$
Polinômio Característico
Nível:
Superior
Equação fundamental para a determinação dos autovalores de uma matriz.
$$\det(A - \lambda I) = 0$$
Produto de Hadamard (Elemento a Elemento)
Nível:
Superior
Multiplicação componente a componente de matrizes de mesma dimensão.
$$(A \odot B)_{ij} = A_{ij} B_{ij}$$
Produto de Kronecker
Nível:
Avançado
Produto tensorial entre duas matrizes de dimensões arbitrárias.
$$(A \otimes B)_{\alpha \beta} = A_{ij} B_{kl}$$
Progressão Aritmética na Cinemática (MRUV)
Nível:
Ensino Médio
Conceito algébrico de progressão aritmética aplicado ao movimento retilíneo uniformemente variado, onde a aceleração constante atua como a razão da sequência de velocidades.
$$v_n = v_0 + n \cdot a$$
Pseudoinversa de Moore-Penrose
Nível:
Avançado
Generalização da matriz inversa para sistemas não quadrados ou singulares.
$$A^\dagger = (A^T A)^{-1} A^T$$
Raio Espectral de uma Matriz
Nível:
Avançado
O maior valor absoluto dentre os autovalores da matriz.
$$\rho(A) = \max_i |\lambda_i|$$
Regra da Cadeia (Derivada de Função Composta)
Nível:
Superior
Regra fundamental para derivar funções compostas, essencial em modelagem física onde variáveis dependem de outras intermediárias, como temperatura dependente da posição que depende do tempo.
$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f''(g(x))\cdot g''(x)$$
Regra de Leibniz (Derivada de Integrais com Limites Variáveis)
Nível:
Superior / Avançado
Usada para derivar integrais dependentes do tempo, como fluxo variável, trabalho em sistemas dinâmicos e equações de transporte.
$$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t,x) dt = f(b(x),x)b''(x) - f(a(x),x)a''(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x} dt$$
Rotacional de Campo Vetorial
Nível:
Superior
Quantifica a tendência de rotação de um campo vetorial, essencial em fluidos e eletromagnetismo.
$$\nabla \times \vec{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}$$
Teorema Central do Limite
Nível:
Superior
Estabelece que a soma de variáveis aleatórias independentes tende a uma distribuição normal.
$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, 1)$$
Teorema da Divergência (Gauss-Ostrogradsky)
Nível:
Superior
Teorema integral que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo no volume interior.
$$\int_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV = \oint_{\partial V} \vec{F} \cdot d\vec{S}$$
Teorema de Cayley-Hamilton
Nível:
Avançado
Toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico.
$$p_A(A) = 0$$
Teorema de Parseval
Nível:
Superior
Estabelece que a energia total de um sinal no domínio do tempo é proporcional à integral do quadrado de sua transformada de Fourier no domínio da frequência.
$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 \, d\omega$$
Teorema de Stokes
Nível:
Superior
Relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha desse campo ao longo da curva fechada que delimita a superfície.
$$\int_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{l}$$
Teorema do Posto e Nulidade
Nível:
Superior
Relaciona as dimensões do espaço imagem e do núcleo de uma matriz.
$$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n$$
Trabalho Realizado por uma Força Variável (Integral)
Nível:
Superior
Aplica a integral definida para calcular o trabalho físico efetuado por uma força que varia de intensidade ao longo do deslocamento, como a força elástica exercida por uma mola.
$$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$$
Traço de uma Matriz
Nível:
Superior
Soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada.
$$\operatorname{Tr}(A) = \sum_i A_{ii}$$
Transformada de Fourier
Nível:
Superior / Engenharia
Ferramenta essencial para análise de sinais, ondas, vibrações, óptica, eletrônica e mecânica quântica.
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$$
Transformada de Fourier de Distribuições
Nível:
Superior
Usada em análise espectral de sinais biomédicos.
$$\mathcal{F}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx} dx$$
Transformada de Fourier de Sinal
Nível:
Superior
Decompõe um sinal temporal f(t) em seus componentes de frequência, essencial em análise de ondas e processamento de sinais.
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
Transformada de Hilbert
Nível:
Avançado
Usada para análise de sinais, envelope analítico e processamento de áudio.
$$\mathcal{H}\{f(t)\} = \frac{1}{\pi} \text{PV} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(\tau)}{t-\tau} \, d\tau$$
Transformada de Laplace
Nível:
Superior
Usada para resolver equações diferenciais lineares, modelar circuitos elétricos, sistemas de controle e dinâmica de fluidos.
$$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt$$
Transformada de Laplace de Distribuições
Nível:
Superior
Usada para resolver equações diferenciais estocásticas.
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st} dt$$
Transformada de Laplace Inversa
Nível:
Avançado
Recupera funções originais a partir de suas transformadas de Laplace.
$$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s)e^{st} \, ds$$
Transformada de Legendre
Nível:
Superior
Usada para mudar variáveis em mecânica analítica, termodinâmica e otimização.
$$g(p) = xp - f(x)$$
Transformada de Mellin
Nível:
Avançado
Importante em teoria de números, processamento de imagens e equações diferenciais.
$$\mathcal{M}\{f(x)\} = \int_0^{\infty} x^{s-1} f(x) \, dx$$
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Nível:
Superior
Base da análise espectral digital.
$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2\pi i nk/N}$$
Transformada Wavelet Contínua
Nível:
Superior
Ferramenta para análise tempo-frequência, usada em engenharia, geofísica e compressão de dados.
$$W(a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right) \, dt$$
Transformada Wavelet Discreta
Nível:
Superior
Base da compressão JPEG2000 e análise multirresolução.
$$W_{j,k} = \sum_n x[n] \psi_{j,k}[n]$$
Transposta de uma Matriz
Nível:
Superior
Operação que troca as linhas pelas colunas de uma matriz.
$$(A^T)_{ij} = A_{ji}$$
Valor Esperado (Esperança Matemática)
Nível:
Superior
Representa a média ponderada de todos os valores possíveis de uma variável aleatória.
$$\mathbb{E}[X] = \sum x_i P(X = x_i)$$
Variância Estatística
Nível:
Ensino Médio / Superior
Medida da dispersão de valores em torno da média, essencial em análise de dados experimentais.
$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$$
Velocidade Instantânea (Definição por Limite)
Nível:
Superior
Conceito fundamental de limite aplicado à cinemática para definir rigorosamente a velocidade instantânea de um corpo como a taxa de variação da posição em um intervalo de tempo infinitesimal.
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$$
Mecânica Clássica e Gravitação
Aceleração Centrípeta
Nível:
Ensino Médio / Superior
Componente da aceleração direcionada para o centro da trajetória circular, responsável por alterar a direção da velocidade vetorial de um corpo.
$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$
Aceleração Escalar Média
Nível:
Ensino Médio
Mede a taxa de variação da velocidade escalar em função do intervalo de tempo.
$$a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
Alcance Horizontal no Lançamento Oblíquo
Nível:
Ensino Médio / Superior
Calcula a distância horizontal total percorrida por um projétil em solo plano até retornar à mesma altura de lançamento.
$$A = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$
Altura Máxima no Lançamento Oblíquo
Nível:
Ensino Médio / Superior
Determina a altura máxima atingida por um projétil lançado com velocidade inicial v_0 sob um ângulo \theta em relação à horizontal.
$$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g}$$
Atenuação
Nível:
Superior
Redução exponencial da intensidade ao atravessar meio absorvedor.
$$I = I_0 e^{-\alpha x}$$
Atrito em Correias (Fórmula do Capstan)
Nível:
Superior / Engenharia
Relaciona as trações ((T_1) e (T_2)) nas extremidades de uma correia ou cabo apoiado em um tambor estático ou em eminência de deslizar, com coeficiente de atrito (\mu) e ângulo de abraçamento (\beta).
$$T_2 = T_1 e^{\mu \beta}$$
Centróide de uma Área Plana
Nível:
Superior / Engenharia
Define a coordenada do centro geométrico (centróide (\bar{x})) de uma seção transversal plana por meio de integração ponderada de área.
$$\bar{x} = \frac{\int x \, dA}{\int dA}$$
Componente do Peso no Plano Inclinado (Paralela)
Nível:
Ensino Médio
Parcela da força peso responsável por puxar o corpo para baixo ao longo de um plano inclinado de ângulo \theta.
$$P_x = mg \sin(\theta)$$
Componente do Peso no Plano Inclinado (Perpendicular)
Nível:
Ensino Médio
Parcela da força peso que comprime o corpo contra a superfície do plano inclinado, equilibrada pela força normal N.
$$P_y = mg \cos(\theta)$$
Condições de Equilíbrio Estático 3D
Nível:
Superior / Engenharia
Conjunto de seis equações escalares necessárias e suficientes para garantir o equilíbrio estático completo de um corpo rígido no espaço tridimensional.
$$\sum F_x = 0, \; \sum F_y = 0, \; \sum F_z = 0, \; \sum M_x = 0, \; \sum M_y = 0, \; \sum M_z = 0$$
Efeito Doppler Acústico Geral
Nível:
Ensino Médio / Superior
Calcula a frequência aparente f' percebida por um observador em movimento (v_o) ou fonte sonora em movimento (v_s) em um meio de propagação com velocidade de som v.
$$f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$$
Energia Cinética (Forma Integral)
Nível:
Superior
Expressa energia cinética como integral do produto escalar entre velocidade e diferencial de momento.
$$K = \int \vec{v} \cdot d\vec{p}$$
Energia Potencial Elástica
Nível:
Ensino Médio
Energia armazenada em uma mola ideal quando comprimida ou esticada.
$$U = \frac{1}{2}kx^2$$
Energia Potencial Gravitacional
Nível:
Ensino Médio
Energia armazenada por um objeto devido à sua posição em um campo gravitacional uniforme, dependendo da massa m, da aceleração da gravidade g e da altura h.
$$U = mgh$$
Equação da Catenária (Cabo Suspenso)
Nível:
Superior / Engenharia
Descreve a curva exata assumida por um cabo flexível homogêneo de peso próprio uniforme suspenso livremente entre dois apoios sob a ação da gravidade.
$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$$
Equação da Linha Elástica (Flexão em Vigas)
Nível:
Superior / Engenharia
Relaciona o momento fletor ((M)) atuante em uma viga com a rigidez à flexão ((EI)) e a curvatura da linha elástica (derivada segunda da flecha de deflexão (v)).
$$M = -EI \frac{d^2v}{dx^2}$$
Equação de Bernoulli
Nível:
Superior / Engenharia
Conservação de energia mecânica aplicada aos fluidos ideais em escoamento, relacionando pressão estática p, energia cinética por unidade de volume e potencial gravitacional.
$$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constante}$$
Equação de Bernoulli Generalizada
Nível:
Superior
Versão generalizada da equação de Bernoulli para potenciais dependentes do tempo.
$$\partial_t \Phi + \frac{1}{2}|\nabla\Phi|^2 + \frac{p}{\rho} + gz = C(t)$$
Equação de Burgers
Nível:
Superior
Modelo simplificado de turbulência e ondas de choque.
$$\partial_t u + u\partial_x u = \nu \partial_{xx} u$$
Equação de Continuidade em Fluidos
Nível:
Superior / Engenharia
Expressa a conservação de massa em um fluido geral, incluindo casos compressíveis, via densidade \rho e campo de velocidade \vec{v}.
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$$
Equação de Continuidade para Fluidos
Nível:
Superior / Engenharia
Expressa a conservação da massa para um fluxo estacionário de um fluido incompressível, relacionando área transversal A e velocidade do escoamento v.
$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$
Equação de Darcy (Fluxo em Meios Porosos)
Nível:
Superior
Descreve fluxo de fluidos em meios porosos, essencial em engenharia de petróleo.
$$\vec{v} = -\frac{k}{\mu} \nabla p$$
Equação de Difusão com Convecção
Nível:
Superior
Modela transporte convectivo-difusivo.
$$\partial_t u + \vec{v}\cdot\nabla u = D \nabla^2 u$$
Equação de Euler Fracionária
Nível:
Avançado
Modelos fracionários de fluidos.
$$\partial_t u + \nabla^\alpha p = 0$$
Equação de Euler para Fluidos Ideais
Nível:
Superior
Modelo de fluidos sem viscosidade.
$$\partial_t \vec{v} + (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p$$
Equação de Hamilton-Jacobi
Nível:
Avançado
Formulação alternativa da mecânica clássica baseada em ação.
$$\partial_t S + H(q_i, \partial_{q_i} S, t) = 0$$
Equação de Helmholtz para Acústica
Nível:
Superior
Modelo de ondas sonoras estacionárias.
$$\nabla^2 p + k^2 p = 0$$
Equação de Helmholtz para Ondas Mecânicas
Nível:
Superior
Descreve ondas estacionárias em cordas, membranas e sólidos.
$$\nabla^2 u + k^2 u = 0$$
Equação de Lagrange para Sistemas Dissipativos
Nível:
Superior
Inclui forças não conservativas na formulação lagrangiana.
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = Q_{nc}$$
Equação de Laplace para Potenciais Hidrodinâmicos
Nível:
Superior
Potencial de velocidade para escoamentos incompressíveis e irrotacionais.
$$\nabla^2 \Phi = 0$$
Equação de Navier-Stokes Fracionária
Nível:
Avançado
Modela turbulência com operadores fracionários.
$$\partial_t u + (u\cdot\nabla)u = -\nabla p + \nu(-\nabla^2)^{\alpha/2} u$$
Equação de Onda com Amortecimento
Nível:
Superior
Modelo de ondas com dissipação.
$$\partial_{tt} u + \gamma\partial_t u = c^2\nabla^2 u$$
Equação de Onda com Fonte
Nível:
Superior
Inclui termo de fonte externa.
$$\partial_{tt} u = c^2\nabla^2 u + S(x,t)$$
Equação de Onda em Uma Dimensão
Nível:
Superior
Equação diferencial que descreve a propagação de ondas mecânicas ou eletromagnéticas em uma dimensão espacial.
$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$
Equação de Onda Não Linear
Nível:
Avançado
Modelo de ondas não lineares com termo cúbico.
$$\partial_{tt} u = c^2\nabla^2 u + \alpha u^3$$
Equação de Reynolds (Lubrificação)
Nível:
Avançado
Modela pressão em filmes lubrificantes entre superfícies móveis.
$$\partial_x(h^3 p_x) + \partial_y(h^3 p_y) = 6\mu(U h_x + V h_y)$$
Equação do Foguete de Tsiolkovsky
Nível:
Superior / Engenharia
Equação fundamental da mecânica de voo espacial que calcula a variação máxima de velocidade (\Delta v) alcançada por um foguete em função da velocidade de exaustão e da razão de massas.
$$\Delta v = v_e \ln \left(\frac{m_0}{m_f}\right)$$
Equação Fundamental das Ondas
Nível:
Ensino Médio
Relaciona a velocidade de propagação v de uma onda mecânica ou eletromagnética com o seu comprimento de onda \lambda e sua frequência f.
$$v = \lambda f$$
Equação Horária da Posição (MRUV)
Nível:
Ensino Médio
Descreve a posição s de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado em função do tempo t, considerando posição inicial s_0, velocidade inicial v_0 e aceleração constante a.
$$s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$
Equação Vis-Viva
Nível:
Superior
Velocidade orbital em função da distância e semieixo maior.
$$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$$
Equações de Euler-Lagrange
Nível:
Superior / Avançado
Equações fundamentais que determinam a dinâmica de sistemas a partir da Lagrangiana em coordenadas generalizadas q_i.
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$$
Equações de Hamilton
Nível:
Superior / Avançado
Conjunto de equações de primeira ordem que descrevem a evolução temporal de sistemas em termos de H, q_i e p_i.
$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$
Equações de Navier-Stokes (Forma Compacta)
Nível:
Superior / Avançado
Equações fundamentais que descrevem o movimento de fluidos viscosos, incluindo efeitos de pressão, viscosidade e gravidade.
$$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \rho \vec{g}$$
Escala Richter
Nível:
Superior
Define magnitude sísmica a partir da amplitude medida.
$$M = \log_{10}\left(\frac{A}{A_0}\right)$$
Força de Atrito Cinético
Nível:
Ensino Médio
Determina a força de resistência ao movimento quando há deslizamento relativo entre as superfícies, usando o coeficiente de atrito cinético \mu_c.
$$F_{at, c} = \mu_c N$$
Força de Atrito Estático Máximo
Nível:
Ensino Médio
Calcula a força de atrito máxima que impede o início do deslizamento entre duas superfícies em contato, dependendo do coeficiente de atrito estático \mu_e e da força normal N.
$$F_{at, \max} = \mu_e N$$
Frequência do MHS
Nível:
Ensino Médio
Relaciona a frequência de oscilação com a velocidade angular.
$$f = \frac{\omega}{2\pi}$$
Frequência dos Harmônicos em Cordas Vibrantes
Nível:
Ensino Médio / Superior
Determina as frequências naturais de vibração (modos normais) de uma corda de comprimento L fixa em ambas as extremidades, com n = 1, 2, 3...
$$f_n = \frac{n v}{2L}$$
Frequência em Tubos Sonoros Abertos
Nível:
Ensino Médio / Superior
Frequências ressonantes em tubos sonoros abertos nas duas extremidades, gerando harmônicos inteiros.
$$f_n = \frac{n v}{2L}$$
Frequência em Tubos Sonoros Fechados
Nível:
Ensino Médio / Superior
Frequências ressonantes em tubos fechados em apenas uma extremidade, gerando apenas harmônicos ímpares.
$$f_n = \frac{n v}{4L} \quad (n = 1, 3, 5, \dots)$$
Hamiltoniana Clássica
Nível:
Superior
Define a Hamiltoniana H em termos das coordenadas generalizadas q_i, momentos conjugados p_i e Lagrangiana L.
$$H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L$$
Impulso de uma Força
Nível:
Ensino Médio / Superior
O impulso de uma força aplicada sobre um intervalo de tempo é igual à variação do momento linear do corpo (\Delta \vec{p}).
$$\vec{J} = \Delta \vec{p}$$
Impulso Específico
Nível:
Superior
Mede eficiência de motores foguete.
$$I_{sp} = \frac{F}{\dot{m} g_0}$$
Intensidade da Onda
Nível:
Ensino Médio
Potência por unidade de área transportada pela onda.
$$I = \frac{P}{A}$$
Intensidade Sonora (Nível Sonoro em Decibéis)
Nível:
Superior
Mede o nível de intensidade sonora \beta em decibéis comparando a intensidade I com o limite de audibilidade humana padrão I_0.
$$\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$
Lagrangiana de Partícula Clássica
Nível:
Superior
Define a Lagrangiana como diferença entre energia cinética T e potencial V, base para as equações de Euler-Lagrange.
$$L = T - V$$
Lei da Gravitação Universal de Newton
Nível:
Ensino Médio / Superior
Descreve a força de atração mútua entre dois corpos dotados de massa, sendo proporcional ao produto das massas m_1 e m_2 e inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre seus centros.
$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$
Lei de Hooke
Nível:
Ensino Médio
A força restauradora em uma mola ideal é proporcional à deformação x, com constante elástica k.
$$F = kx$$
Lei de Poiseuille
Nível:
Superior
Vazão de fluido viscoso em tubo cilíndrico.
$$Q = \frac{\pi r^4}{8\mu L}\Delta P$$
MHS — Posição
Nível:
Ensino Médio / Superior
Equação que descreve o movimento harmônico simples com amplitude A e fase inicial \phi.
$$x(t)=A\cos(\omega t + \phi)$$
Momento de Inércia — Disco
Nível:
Superior
Momento de inércia de um disco maciço em torno do eixo central.
$$I = \frac{1}{2}MR^2$$
Momento de Inércia — Haste
Nível:
Superior
Haste delgada girando em torno do centro.
$$I = \frac{1}{12}ML^2$$
Momento de uma Força (Torque)
Nível:
Ensino Médio / Superior
Mede a tendência de rotação aplicada a um corpo rígido em torno de um eixo, resultante da aplicação de uma força F a uma distância d do eixo.
$$\tau = Fd \sin(\theta)$$
Momento Linear (Quantidade de Movimento)
Nível:
Ensino Médio / Superior
Grandeza vetorial definida como o produto da massa m de um corpo por sua velocidade vetorial \vec{v}. É uma grandeza estritamente conservada em sistemas isolados.
$$\vec{p} = m\vec{v}$$
Número de Reynolds
Nível:
Engenharia
Determina regime laminar ou turbulento.
$$Re = \frac{\rho v L}{\mu}$$
Período do Movimento Circular
Nível:
Ensino Médio
Tempo necessário para que ocorra uma volta completa (ciclo) em um movimento periódico ou circular.
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}$$
Período do Pêndulo Simples
Nível:
Ensino Médio / Superior
Determina o tempo T de uma oscilação completa de um pêndulo ideal em função do comprimento L do fio e da aceleração da gravidade local g.
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$
Pressão Hidrostática
Nível:
Ensino Médio
Pressão exercida por uma coluna de fluido.
$$p = p_0 + \rho g h$$
Pressão Média
Nível:
Ensino Médio
Mede a intensidade da força normal F aplicada por unidade de área A.
$$p = \frac{F}{A}$$
Primeira Condição de Equilíbrio Estático
Nível:
Ensino Médio / Superior
Garante que a força resultante sobre um corpo em equilíbrio de translação seja nula.
$$\sum \vec{F} = 0$$
Princípio de Arquimedes (Empuxo)
Nível:
Ensino Médio / Superior
Todo corpo imerso em um fluido sofre uma força vertical para cima (empuxo) cujo módulo é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo.
$$E = \rho_{\text{fluido}} V_{\text{sub}} g$$
Relação entre Velocidade Linear e Angular
Nível:
Ensino Médio
Relaciona a velocidade escalar tangencial v de um ponto na periferia de uma trajetória circular com o raio r e a velocidade angular \omega.
$$v = \omega r$$
Segunda Condição de Equilíbrio Estático
Nível:
Ensino Médio / Superior
Garante que a soma dos torques em relação a qualquer ponto seja nula para que o corpo não sofra aceleração angular.
$$\sum \vec{\tau} = 0$$
Segunda Lei de Newton (Forma Diferencial)
Nível:
Ensino Médio / Superior
Forma diferencial da lei fundamental da dinâmica, relacionando força e variação temporal da velocidade.
$$\vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$$
Segunda Lei de Newton (Forma Vetorial)
Nível:
Ensino Médio / Superior
A Segunda Lei de Newton estabelece que a força resultante (\vec{F}_{\mathrm{res}}) sobre um corpo é igual à taxa de variação do momento linear ou, para massa constante, ao produto da massa (m) pela aceleração vetorial (\vec{a}).
$$\vec{F}_{\mathrm{res}} = m\vec{a}$$
Tempo de Queda Livre
Nível:
Ensino Médio
Calcula o tempo necessário para um corpo atingir o solo em queda livre a partir de uma altura h, desprezando a resistência do ar.
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$
Tensão Cisalhante Média
Nível:
Superior / Engenharia
Mede a tensão de corte média ((\tau)) gerada por uma força cortante ((V)) atuando paralelamente à área transversal resistente ((A)).
$$\tau = \frac{V}{A}$$
Tensão Cisalhante por Torção
Nível:
Superior / Engenharia
Calcula a tensão de cisalhamento ((\tau)) a uma distância radial (_{r}) do centro em um eixo circular submetido a um torque ((T)), sendo (J) o momento polar de inércia.
$$\tau = \frac{Tr}{J}$$
Tensão Normal Média
Nível:
Superior / Engenharia
Calcula a tensão normal uniforme ((\sigma)) desenvolvida em uma seção transversal de um elemento estrutural submetido a uma força axial de tração ou compressão ((N)) distribuída por uma área ((A)).
$$\sigma = \frac{N}{A}$$
Tensões Principais (Círculo de Mohr)
Nível:
Superior / Avançado
Determina analiticamente as tensões principais máxima ((\sigma_1)) e mínima ((\sigma_2)) em um estado plano de tensões de um elemento estrutural.
$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
Teorema de Steiner (Eixos Paralelos)
Nível:
Superior / Engenharia
Relaciona o momento de inércia geométrico ((I)) de uma área em relação a um eixo qualquer com o momento de inércia em relação ao eixo centroidal paralelo ((I_c)), distanciado por (d).
$$I = I_c + Ad^2$$
Teorema do Trabalho-Energia Cinética
Nível:
Ensino Médio / Superior
Afirma que o trabalho total W realizado sobre um corpo é igual à variação de sua energia cinética (\Delta K = K_f - K_i).
$$W = \Delta K$$
Terceira Lei de Kepler
Nível:
Superior
Relaciona o período orbital T de um corpo celeste e o semieixo maior a de sua órbita elíptica em torno de um corpo central de massa M.
$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}$$
Trabalho de uma Força Constante
Nível:
Ensino Médio / Superior
Mede a energia transferida para ou de um objeto através da aplicação de uma força F ao longo de um deslocamento d, onde \theta é o ângulo entre os vetores força e deslocamento.
$$W = Fd \cos\theta$$
Velocidade Angular Média
Nível:
Ensino Médio
Mede a variação do deslocamento angular (\Delta \theta) por unidade de tempo (\Delta t) no movimento circular.
$$\omega_m = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$
Velocidade de Propagação de Onda em Cordas
Nível:
Superior
Relaciona a velocidade de propagação de um pulso transversal com a tração T na corda e sua densidade linear de massa \mu.
$$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$$
Velocidade Média
Nível:
Ensino Médio
Define a velocidade média como a razão entre o deslocamento escalar total (\Delta s) e o intervalo de tempo decorrido (\Delta t).
$$v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t}$$
Velocidade no MRUV (Equação de Torricelli)
Nível:
Ensino Médio
Relaciona a velocidade final v de um corpo com sua velocidade inicial v_0, a aceleração a e o deslocamento \Delta s, dispensando o conhecimento explícito do intervalo de tempo.
$$v^2 = v_0^2 + 2a\Delta s$$
Química e Físico-Química
Acetona (Propanona)
Nível:
Superior
Cetona alifática simples, amplamente aplicada como solvente polar aprótico.
$$\text{CH}_3\text{COCH}_3$$
Ácido Acético
Nível:
Ensino Médio / Superior
Ácido carboxílico que confere ao vinagre suas características ácidas.
$$\text{CH}_3\text{COOH}$$
Ácido Clorídrico
Nível:
Ensino Médio / Superior
Solução aquosa de cloreto de hidrogênio, ácido forte encontrado no suco gástrico.
$$\text{HCl}$$
Ácido Fosfórico
Nível:
Superior
Ácido triprótico utilizado na fabricação de fertilizantes e acidificação de bebidas.
$$\text{H}_3\text{PO}_4$$
Ácido Nítrico
Nível:
Superior
Ácido forte e altamente oxidante, empregado na produção de nitratos e explosivos.
$$\text{HNO}_3$$
Ácido Sulfúrico
Nível:
Superior
Ácido mineral forte, agente desidratante e reagente industrial fundamental.
$$\text{H}_2\text{SO}_4$$
Composto químico essencial, solvente universal para sistemas biológicos e químicos.
$$\text{H}_2\text{O}$$
Amônia
Nível:
Ensino Médio / Superior
Composto nitrogenado gasoso de odor pungente, amplamente usado em fertilizantes.
$$\text{NH}_3$$
Balanço Energético de Reação Nuclear (Q)
Nível:
Avançado
Calcula o balanço energético de reações nucleares induzidas.
$$Q = (m_X + m_a - m_Y - m_b)c^2$$
Hidrocarboneto aromático cíclico fundamental para a síntese orgânica.
$$\text{C}_6\text{H}_6$$
Carbonato de Cálcio
Nível:
Ensino Médio
Sal mineral encontrado em rochas calcárias, mármore, giz e exoesqueletos.
$$\text{CaCO}_3$$
Cloreto de Sódio
Nível:
Ensino Médio
Sal de cozinha, composto iônico cristalino formado por íons sódio e cloreto.
$$\text{NaCl}$$
Constante de Ionização Ácida (Ka)
Nível:
Superior
Descreve a ionização de ácidos fracos em solução aquosa.
$$K_a = \frac{[H_3O^+][A^-]}{[HA]}$$
Deslocamento de Stokes
Nível:
Superior
Mede a diferença entre as linhas espectrais de excitação e emissão fluorescente.
$$\Delta \lambda = \lambda_{em} - \lambda_{ex}$$
Deslocamento Químico em RMN
Nível:
Superior
Define o deslocamento químico (ppm) em espectroscopia de RMN para caracterização estrutural orgânica.
$$\delta = \frac{\nu - \nu_{ref}}{\nu_{spectrometer}} \times 10^6$$
Dióxido de Carbono
Nível:
Ensino Médio
Gás incolor, produto da respiração celular, combustão e ciclo do carbono.
$$\text{CO}_2$$
Dióxido de Enxofre
Nível:
Superior
Gás resultante da combustão de enxofre e combustíveis fósseis, precursor de chuva ácida.
$$\text{SO}_2$$
Energia Livre Padrão e Equilíbrio
Nível:
Superior
Relaciona a variação de energia livre padrão com a constante de equilíbrio químico.
$$\Delta G^0 = -RT \ln K$$
Equação de Arrhenius
Nível:
Superior
Relaciona a constante de velocidade de uma reação com a temperatura e a energia de ativação.
$$k = A e^{-E_a / (RT)}$$
Equação de Clausius-Clapeyron
Nível:
Superior
Relaciona a pressão de vapor de um líquido com a temperatura e entalpia de vaporização.
$$\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{\Delta H_{vap}}{R} \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)$$
Equação de Debye-Hückel Limite
Nível:
Avançado
Calcula o coeficiente de atividade de íons em soluções eletrolíticas diluídas.
$$\log \gamma_i = -A z_i^2 \sqrt{I}$$
Equação de Gibbs-Helmholtz
Nível:
Superior
Determina a espontaneidade de processos químicos através da variação de energia livre.
$$\Delta G = \Delta H - T \Delta S$$
Equação de Henderson-Hasselbalch
Nível:
Superior
Calcula o pH de soluções tampão e misturas de ácidos fracos e seus sais.
$$pH = pK_a + \log\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right)$$
Equação de Mark-Houwink (Polímeros)
Nível:
Avançado
Relaciona a viscosidade intrínseca de polímeros com sua massa molar média viscosimétrica.
$$[\eta] = K M_v^a$$
Equação de Nernst Eletroquímica
Nível:
Superior
Calcula o potencial de uma célula eletroquímica sob condições não padrão.
$$E = E^0 - \frac{RT}{nF} \ln Q$$
Equação de Nernst-Planck (Transporte)
Nível:
Avançado
Descreve o fluxo de íons sob gradientes de concentração e potenciais elétricos.
$$J_i = -D_i \nabla C_i - \frac{z_i F}{RT} D_i C_i \nabla \Phi$$
Equação de Van 't Hoff (Equilíbrio)
Nível:
Avançado
Descreve a variação da constante de equilíbrio com a temperatura.
$$\frac{d \ln K}{dT} = \frac{\Delta H^0}{RT^2}$$
Equação Geral dos Gases Ideais
Nível:
Ensino Médio / Superior
Relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de matéria de um gás ideal.
$$PV = nRT$$
Equilíbrio Secular Radioquímico
Nível:
Avançado
Condição de equilíbrio entre um radionuclídeo pai de vida longa e um filho de vida curta.
$$A_1 = \lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2 = A_2$$
Etanol
Nível:
Ensino Médio / Superior
Álcool amplamente utilizado como solvente industrial, antisséptico e biocombustível.
$$\text{CH}_3\text{CH}_2\text{OH}$$
Éter Etílico
Nível:
Superior
Éter clássico utilizado historicamente como anestésico e solvente de extração.
$$\text{CH}_3\text{CH}_2\text{OCH}_2\text{CH}_3$$
Formaldeído (Metanal)
Nível:
Superior
Aldeído mais simples, utilizado em soluções conservantes (formol) e polímeros.
$$\text{HCHO}$$
Hidróxido de Sódio
Nível:
Ensino Médio / Superior
Base forte conhecida comercialmente como soda cáustica.
$$\text{NaOH}$$
Lei de Ação das Massas (Equilíbrio Kc)
Nível:
Superior
Descreve o equilíbrio químico em termos de concentrações molares.
$$K_c = \frac{[C]^c [D]^d}{[A]^a [B]^b}$$
Lei de Bragg (Cristalografia)
Nível:
Superior
Relaciona o comprimento de onda de raios-X com o espaçamento interplanar em estruturas cristalinas.
$$n\lambda = 2d \sin\theta$$
Lei do Decaimento Radioativo (Química)
Nível:
Superior
Descreve a desintegração exponencial de núcleos radioativos ao longo do tempo.
$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$
Metano
Nível:
Ensino Médio
Hidrocarboneto alcanos mais simples, principal componente do gás natural.
$$\text{CH}_4$$
Peróxido de Hidrogênio (Água Oxigenada)
Nível:
Superior
Agente oxidante forte, utilizado como antisséptico e branqueador.
$$\text{H}_2\text{O}_2$$
Produto de Solubilidade (Ksp)
Nível:
Superior
Modela o equilíbrio de precipitação e dissolução de sais pouco solúveis.
$$K_{sp} = [M^{n+}]^a [X^{m-}]^b$$
Hidrocarboneto aromático metilbenzeno usado como solvente e matéria-prima.
$$\text{C}_6\text{H}_5\text{CH}_3$$
Velocidade de Reação de Ordem Zero
Nível:
Superior
Descreve reações cuja velocidade é independente da concentração dos reagentes.
$$[A] = [A]_0 - kt$$
Velocidade Integrada de 1ª Ordem
Nível:
Superior
Modela processos de decaimento e reações de primeira ordem.
$$\ln[A] = \ln[A]_0 - kt$$
Velocidade Integrada de 2ª Ordem
Nível:
Superior
Modela reações de segunda ordem em relação a um reagente.
$$\frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A]_0} + kt$$
Relatividade e Cosmologia
Contração de Comprimento
Nível:
Superior
Comprimentos paralelos ao movimento se contraem em referenciais relativísticos.
$$L = \frac{L_0}{\gamma}$$
Contração do Espaço (Lorentz)
Nível:
Superior
Redução do comprimento medido na direção do movimento em alta velocidade.
$$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$
Densidade Crítica
Nível:
Superior
Densidade necessária para que o universo seja espacialmente plano.
$$\rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G}$$
Dilatação do Tempo Relativística
Nível:
Ensino Médio / Superior
Tempo medido por observador em movimento é maior que o tempo próprio.
$$\Delta t = \gamma \Delta t_0$$
Dilatação Temporal Relativística
Nível:
Superior
Demonstra que o intervalo de tempo \Delta t medido por um observador em movimento é maior que o tempo próprio \Delta t_0 medido no referencial em repouso.
$$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$
Energia Relativística
Nível:
Superior
Relação geral entre energia, momento e massa.
$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$
Equação de Bianchi (Geometria Diferencial)
Nível:
Avançado
Identidade geométrica fundamental para tensores de curvatura.
$$\nabla_{[\lambda} R_{\mu\nu]\rho\sigma} = 0$$
Equação de Continuidade Relativística
Nível:
Superior
Expressa a conservação de corrente (de carga ou probabilidade) em forma covariante, garantindo que não haja criação ou destruição líquida da quantidade conservada.
$$\partial_\mu J^\mu = 0$$
Equação de Dirac em Espaço Curvo
Nível:
Avançado
Versão da equação de Dirac definida em variedades curvas, essencial para férmions em espaço-tempo curvo.
$$i\gamma^{\mu}(x) D_{\mu} \psi - m\psi = 0$$
Equação de Einstein-Hilbert (Ação)
Nível:
Avançado
Ação fundamental da gravitação relativística.
$$S = \int R \sqrt{-g} \, d^4x$$
Equação de Einstein–Klein-Gordon
Nível:
Avançado
Modelo acoplado entre gravidade e campo escalar, usado em inflação cósmica.
$$G_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}(\phi)$$
Equação de Einstein–Maxwell
Nível:
Avançado
Acoplamento entre gravidade e eletromagnetismo, base para buracos negros carregados.
$$G_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}^{(EM)}$$
Equação de Friedmann (Cosmologia)
Nível:
Superior
Descreve expansão do universo.
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$
Equação de Friedmann Acelerada
Nível:
Avançado
Descreve aceleração ou desaceleração da expansão do universo.
$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p/c^2) + \frac{\Lambda}{3}$$
Equação de Friedmann–Lemaître Completa
Nível:
Superior
Inclui constante cosmológica, descrevendo expansão acelerada do universo.
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}$$
Equação de Geodésicas
Nível:
Avançado
Descreve trajetórias de partículas em espaço-tempo curvo.
$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$$
Equação de Klein-Gordon em Espaço Curvo
Nível:
Avançado
Modelo para campos escalares em espaço-tempo curvo, usando o operador d’Alembertiano geométrico.
$$\Box_g \phi + m^2 \phi = 0$$
Equação de Maxwell em Espaço Curvo
Nível:
Avançado
Forma covariante das equações de Maxwell em geometria curva.
$$\nabla_{\mu} F^{\mu\nu} = J^{\nu}$$
Equação de Pressão de Degenerescência de Nêutrons
Nível:
Avançado
Pressão quântica que sustenta estrelas de nêutrons.
$$P = K (n_n)^{5/3}$$
Equação de Pressão de Degenerescência Eletrônica
Nível:
Superior
Pressão quântica que sustenta anãs brancas contra colapso gravitacional.
$$P = K (n_e)^{5/3}$$
Equação de Raychaudhuri
Nível:
Avançado
Equação fundamental para focagem de geodésicas, base para teoremas de singularidade.
$$\frac{d\theta}{d\tau} = -\frac{1}{3}\theta^2 - \sigma_{ab}\sigma^{ab} + \omega_{ab}\omega^{ab} - R_{ab}u^a u^b$$
Equação de Saha
Nível:
Avançado
Descreve o estado de ionização térmica de um gás estelar.
$$\frac{N_{i+1}}{N_i} P_e = \frac{2g_{i+1}}{g_i} \frac{(2\pi m_e k T)^{3/2}}{h^3} e^{-E_i / kT}$$
Equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)
Nível:
Avançado
Equação de equilíbrio hidrostático relativístico para estrelas compactas.
$$\frac{dp}{dr} = -\frac{G(\rho + p/c^2)(m + 4\pi r^3 p/c^2)}{r(r - 2Gm/c^2)}$$
Equação de Transporte de Radiação Cósmica
Nível:
Avançado
Modelo para propagação de radiação no meio intergaláctico.
$$\partial_t I + c\hat{n}\cdot\nabla I = -\kappa I + j$$
Equação de Transporte Radiativo
Nível:
Avançado
Modelo fundamental para propagação de radiação em meios absorventes e emissores.
$$\frac{1}{c}\partial_t I + \hat{n}\cdot\nabla I = -\kappa I + j$$
Equação de Transporte Radiativo Estelar
Nível:
Avançado
Modelo para propagação de radiação em atmosferas estelares.
$$\frac{dI_\nu}{ds} = -\kappa_\nu I_\nu + j_\nu$$
Equações de Campo de Einstein
Nível:
Superior / Avançado
Conjunto de dez equações diferenciais da Relatividade Geral que descrevem a interação fundamental da gravitação como curvatura do espaço-tempo gerada pela energia e momento.
$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + g_{\mu\nu}\Lambda = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$
Equivalência Massa-Energia de Einstein
Nível:
Superior
Consagra que a energia total de repouso de um sistema físico é proporcional à sua massa m multiplicada pelo quadrado da velocidade da luz no vácuo c.
$$E = m c^2$$
Equivalência Massa-Energia Relativística
Nível:
Superior
Relação fundamental entre energia total, momento linear e massa de repouso.
$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$
Escalar de Curvatura
Nível:
Avançado
Medida escalar da curvatura do espaço-tempo.
$$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$$
Fator de Lorentz
Nível:
Superior
Fator que aparece em todas as transformações relativísticas.
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$
Lei de Hubble
Nível:
Superior
Galáxias se afastam proporcionalmente à distância devido à expansão do universo.
$$v = H_0 d$$
Lei de Stefan-Boltzmann
Nível:
Superior
Radiação total emitida por um corpo negro estelar em função da temperatura.
$$E = \sigma T^4$$
Limite de Chandrasekhar
Nível:
Superior
Massa máxima limite para anãs brancas suportada por pressão de degenerescência eletrônica.
$$M_{ch} \approx \frac{1.44 M_\odot}{\mu_e^2}$$
Métrica de Schwarzschild
Nível:
Avançado
Descreve o espaço-tempo ao redor de um corpo massivo esférico sem rotação.
$$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{rc^2}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$
Tensor de Energia-Momento
Nível:
Avançado
Descreve distribuição de energia e momento no espaço-tempo.
$$T^{\mu\nu} = (\rho + p)u^{\mu}u^{\nu} + p g^{\mu\nu}$$
Tensor de Ricci
Nível:
Avançado
Descreve contração do tensor de curvatura.
$$R_{\mu\nu} = R^\alpha_{\mu\alpha\nu}$$
Tensor de Riemann
Nível:
Avançado
Descreve curvatura completa do espaço-tempo.
$$R^\rho_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$$
Transformação de Lorentz — Espaço
Nível:
Superior
Transforma coordenadas espaciais entre referenciais inerciais.
$$x' = \gamma(x - vt)$$
Transformação de Lorentz para o Tempo
Nível:
Superior
Relaciona medidas temporais entre referenciais inerciais relativos.
$$t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$$
Velocidade de Escape
Nível:
Ensino Médio / Superior
Velocidade mínima para escapar do campo gravitacional de um corpo massivo.
$$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$
Tecnologia e Inteligência Artificial
Algoritmo de Gradiente Descendente
Nível:
Superior
Método iterativo de otimização para minimização de funções de perda.
$$\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha \nabla L(\theta_t)$$
Atenção em Transformers (Scaled Dot-Product)
Nível:
Avançado
Mecanismo fundamental de atenção em arquiteturas modernas de Deep Learning.
$$\text{Attention}(Q, K, V) = \text{softmax}\left(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\right)V$$
Decomposição de Cholesky
Nível:
Superior
Fatoração de matrizes simétricas definidas positivas.
$$A = L L^T$$
Decomposição LU
Nível:
Superior
Decompõe uma matriz em fatores triangular inferior (L) e superior (U).
$$A = L U$$
Decomposição QR
Nível:
Superior
Fatoração em matriz ortogonal (Q) e triangular superior (R).
$$A = Q R$$
Diferença Finitas para Derivada Temporal (Euler)
Nível:
Superior
Esquema de discretização temporal explícita em simulações numéricas.
$$\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}$$
Equação de Aprendizado Hebbiano
Nível:
Superior
Regra de aprendizado baseada em correlação entre neurônios.
$$\Delta w_{ij} = \eta x_i y_j$$
Equação de Atualização do Adam Optimizer
Nível:
Avançado
Otimização adaptativa usada em redes neurais modernas.
$$\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha \frac{\hat{m}_t}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon}$$
Equação de Duffing
Nível:
Superior
Modelo de oscilador não linear forçado.
$$\ddot{x} + \delta \dot{x} + \alpha x + \beta x^3 = \gamma \cos(\omega t)$$
Equação de Korteweg–de Vries (KdV)
Nível:
Avançado
Modela ondas solitárias em canais rasos.
$$\partial_t u + 6u\partial_x u + \partial_{xxx} u = 0$$
Equação de Lorenz
Nível:
Avançado
Sistema dinâmico famoso por comportamento caótico.
$$\dot{x} = \sigma(y - x), \; \dot{y} = x(\rho - z) - y, \; \dot{z} = xy - \beta z$$
Equação de Magnetohidrodinâmica (MHD) Indutiva
Nível:
Avançado
Descreve evolução do campo magnético em fluidos condutores.
$$\partial_t \vec{B} = \nabla\times(\vec{v}\times\vec{B}) + \eta \nabla^2 \vec{B}$$
Equação de Maxwell para Materiais Dispersivos
Nível:
Avançado
Modela meios com resposta dependente da frequência.
$$\nabla\times\vec{H} = \partial_t(\epsilon(\omega)\vec{E})$$
Equação de Maxwell-Bloch
Nível:
Avançado
Modela interação entre campos eletromagnéticos e meios ativos.
$$\dot{P} = -\gamma P + \chi E$$
Equação de MHD para Momento
Nível:
Avançado
Inclui força de Lorentz no movimento de fluidos magnetizados.
$$\rho(\partial_t \vec{v} + \vec{v}\cdot\nabla\vec{v}) = -\nabla p + \vec{J}\times\vec{B} + \mu \nabla^2 \vec{v}$$
Equação de Onda Eletromagnética em Meios Dispersivos
Nível:
Avançado
Inclui dispersão na propagação de ondas eletromagnéticas.
$$\nabla^2 E - \frac{n^2(\omega)}{c^2} \partial_t^2 E = 0$$
Equação de Rayleigh para Oscilador Não Linear
Nível:
Superior
Modelo clássico de osciladores autoexcitados.
$$\ddot{x} + x = \epsilon(1 - \dot{x}^2)\dot{x}$$
Equação de Schrödinger Não Linear (NLS)
Nível:
Avançado
Modela pulsos ópticos e solitons.
$$i\partial_t \psi + \partial_{xx} \psi + |\psi|^2 \psi = 0$$
Equação de Transporte de Energia em Plasmas
Nível:
Avançado
Modela transporte térmico em plasmas magnetizados.
$$\partial_t T + \vec{v}\cdot\nabla T = \nabla\cdot(\kappa \nabla T) + Q$$
Equação de Transporte de Partículas Carregadas
Nível:
Avançado
Modelo cinético completo para partículas carregadas.
$$\partial_t f + \vec{v}\cdot\nabla f + \frac{q}{m}(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})\cdot\nabla_v f = 0$$
Equação de Van der Pol
Nível:
Superior
Modelo de oscilador não linear com amortecimento dependente da amplitude.
$$\ddot{x} - \mu(1 - x^2)\dot{x} + x = 0$$
Função de Ativação ReLU
Nível:
Superior
Função de ativação amplamente usada em redes neurais profundas.
$$\mathrm{ReLU}(x) = \max(0, x)$$
Função de Ativação Sigmoide
Nível:
Superior
Mapeia valores reais para o intervalo $(0,1)$ em redes neurais.
$$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$$
Função de Ativação Softmax
Nível:
Superior
Transforma vetores em distribuições de probabilidade.
$$\mathrm{softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_j e^{x_j}}$$
Método de Diferenças Finitas para Derivada Espacial
Nível:
Superior
Esquema central para derivadas espaciais.
$$\partial_x u \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2\Delta x}$$
Método de Diferenças Finitas para Segunda Derivada
Nível:
Superior
Esquema clássico para segunda derivada espacial.
$$\partial_{xx} u \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2}$$
Método de Euler Explícito
Nível:
Superior
Método simples para integração temporal de EDOs.
$$u^{n+1} = u^n + \Delta t F(u^n)$$
Método de Euler Implícito
Nível:
Avançado
Método estável para equações rígidas.
$$u^{n+1} = u^n + \Delta t F(u^{n+1})$$
Método de Gauss-Seidel
Nível:
Superior
Método iterativo para sistemas lineares.
$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} (b_i - \sum_{ji} a_{ij} x_j^{(k)}$$
Método de Gradiente Conjugado
Nível:
Avançado
Método eficiente para sistemas lineares simétricos e definidos positivos.
$$x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k$$
Método de Jacobi
Nível:
Superior
Método iterativo simples para sistemas lineares.
$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} (b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j^{(k)}$$
Método de Runge-Kutta de 2ª Ordem
Nível:
Superior
Método de integração temporal de segunda ordem.
$$u^{n+1} = u^n + \Delta t k_2$$
Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4)
Nível:
Superior
Método clássico de alta precisão para EDOs.
$$u^{n+1} = u^n + \frac{\Delta t}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$
Norma de Frobenius de uma Matriz
Nível:
Superior
Norma matricial calculada como a raiz da soma dos quadrados dos elementos.
$$||A||_F = \sqrt{\sum_{i,j} |A_{ij}|^2}$$
Norma L-infinito de uma Matriz
Nível:
Superior
Máxima soma absoluta das linhas da matriz.
$$||A||_\infty = \max_i \sum_j |A_{ij}|$$
Norma L1 de uma Matriz
Nível:
Superior
Máxima soma absoluta das colunas da matriz.
$$||A||_1 = \max_j \sum_i |A_{ij}|$$
Número de Condicionamento de uma Matriz
Nível:
Avançado
Mede a sensibilidade de sistemas lineares a perturbações numéricas.
$$\kappa(A) = ||A|| \cdot ||A^{-1}||$$
Perda de Entropia Cruzada
Nível:
Superior
Função de custo para otimização de classificação em modelos de aprendizado.
$$L = -\sum y_i \log(\hat{y}_i)$$
Produto Escalar Vetorizado (NumPy / Fortran)
Nível:
Superior
Operação central vetorizada em bibliotecas científicas de alto desempenho.
$$c = \sum_{i=1}^N a_i b_i$$
Regra do Trapézio para Quadratura Numérica
Nível:
Superior
Método numérico de integração aproximada para algoritmos científicos.
$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(x_n)\right]$$
Transformada Radon
Nível:
Superior
Base da tomografia computadorizada e reconstrução de imagens médicas.
$$R(\theta, s) = \iint f(x,y) \delta(x\cos\theta + y\sin\theta - s) \, dx \, dy$$
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
Nível:
Superior
Complexidade assintótica do algoritmo FFT.
$$T(N) = N \log_2 N$$
