Um móvel percorre a distância em linha reta entre duas cidades em duas etapas. Na primeira etapa ele percorre com uma rapidez \( \text{v}_{1}=120\frac{\text{km}}{\text{h}} \) e na segunda etapa com uma rapidez \( \text{v}_{2}=60\frac{\text{km}}{\text{h}} \). Determine a rapidez média da viagem, supondo que as duas etapas possuem o mesmo comprimento
A rapidez média (velocidade escalar) na viagem entre as duas cidades é dada por:
$$\textrm{v}_{m}=\frac{\text{distância total percorrida}}{\text{intervalo total de tempo}}\\$$Genericamente temos
$$ \bbox[5px,border:2px solid yellow] {\textrm{v}=\frac{\text{d}}{\text{t}} }\\$$Para cada etapa do deslocamento podemos escrever que:
$$ \begin{align} \textrm{v}_{1}=\frac{\text{d}_{1} }{\text{t}_{1} } \Rightarrow \textrm{t}_{1}=\frac{\text{d}_{1} }{\text{v}_{1} }\\ \end{align} $$ $$ \begin{align} \textrm{v}_{2}=\frac{\text{d}_{2} }{\text{t}_{2} } \Rightarrow \textrm{t}_{2}=\frac{\text{d}_{2} }{\text{v}_{2} }\\ \end{align} $$E assim chegamos a uma expressão da rapidez média no percurso em função das distâncias e velocidades em cada trecho:
\begin{align} \text{v}&=\frac {\text{d}_{1}+\text{d}_{2}}{\text{t}_{1}+\text{t}_{2}}\\ \\ \text{v}&=\frac {\text{d}_{1}+d_{2}}{ \frac{\text{d}_{1} }{\text{v}_{1} } + \frac{\text{d}_{2} }{\text{v}_{2} } }\\ \text{v}&=\frac {(\text{d}_{1}+\text{d}_{2})} {( \frac{\text{d}_{1} }{\text{v}_{1} } + \frac{\text{d}_{2} }{\text{v}_{2} } )}\\ \end{align} \begin{align} \bbox[5px,border:2px solid yellow] { \text{v}=\frac {(\text{d}_{1}+\text{d}_{2})} {( \frac {\text{v}_{2}\text{d}_{1}+\text{v}_{1}\text{d}_{2}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} }\\ \end{align}a)
Se as duas etapas da viagem tiverem a mesma distância, podemos chamar de "x" e simplificar a expressão obtida:
\begin{align} \text{d}_{1}=\text{d}_{2}=\text{x}\\ \end{align} \begin{align} \text{v}&=\frac {(\text{d}_{1}+\text{d}_{2})} {( \frac {\text{v}_{2}\text{d}_{1}+\text{v}_{1}\text{d}_{2}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}&=\frac {(\text{x}+\text{x})} {( \frac {\text{v}_{2}\text{x}+\text{v}_{1}\text{x}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}&=\frac {2\text{x}} {\text{x}( \frac {\text{v}_{2}+\text{v}_{1}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}&=\frac {2} {( \frac {\text{v}_{2}+\text{v}_{1}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}&=2 \left( \frac {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} {\text{v}_{1}+\text{v}_{2} } \right) \\ \\ \end{align} Esta expressão pode ser guardada para uso em problemas semelhantes: \begin{align} \bbox[5px,border:2px solid yellow] { \text{v}=2 \left( \frac {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} {\text{v}_{1}+\text{v}_{2} } \right) }\\ \end{align}
Ao particularizarmos para a situação do nosso problema onde \( \text{v}_{1}=120\frac{\text{km}}{\text{h}} \) e \( \text{v}_{2}=60\frac{\text{km}}{\text{h}} \):
\begin{align} \text{v}&=2 \left( \frac {120.60} {\text{v}_{1}+\text{v}_{2} } \right) \\ &=2 \left( \frac {120.60} {120+60} \right) \\ &=2 \left( \frac {7200} {180} \right) \\ &=2 \left( 40 \right) \\ &=80 \frac{\text{km}}{\text{h}}\\ \end{align}chegaremos a rapidez média (velocidade escalar) da viagem inteira: \begin{align} \bbox[5px,border:2px solid red] { \text{v}_{m}=80 \frac{\text{km}}{\text{h}}\\ }\\ \end{align}
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