RELATIVIDADE

INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE RESTRITA

4. As Principais Consequências dos Postulados da Teoria da Relatividade

Dos postulados da teoria da relatividade resulta um conjunto de importantes corolários que afetam as propriedades do espaço e do tempo. Nós não nos deteremos na explicação relativamente difícil destes corolários. Limitemo-nos a enumerá-los.

A relatividade da distância

A distância não é uma grandeza absoluta, mas depende do movimento do corpo em relação a um dado sistema de referência.

Designemos por \(\ell_o\) o comprimento de uma vara no sistema de referência K, em relação ao qual a vara está parada. Então o comprimento \( \ell \), desta vara, no sistema \( \mathtt {K_1}\) , em relação ao qual a vara se move com velocidade v, determina-se pela equação:

$$\mathtt{\ell=\ell_o \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}~~~~~(1)}$$

Como se vê por esta equação ,

$$(\ell < \ell_o)$$

Nisto consiste a redução relativista do corpo nos sistemas de referência em movimento.

Relatividade dos intervalos de tempo.

Seja o intervalo de tempo entre dois acontecimentos que se dão no mesmo ponto do sistema inercial K igual a \(\tau_o\) . Tais acontecimentos podem ser, por exemplo, dois batimentos de um metrônomo que conta os segundos.

Então o intervalo \(\tau\) entre estes acontecimentos, num sistema de referência \(\mathtt {K_1}\), que se move em relação ao sistema \(\mathtt {K}\) com a velocidade \(\mathtt {v}\), exprime-se do seguinte modo.

$$\mathtt {\tau=\frac{\tau_o}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ~~~~~(2)}$$

Evidentemente \(\tau > \tau_o \). Trata-se do efeito relativista de atraso do tempo nos sistemas de referência em movimento.

Se tivermos \(\mathtt {v\ll c } \), nas fórmulas (1) e (2) pode desprezar-se a grandeza \(\mathtt {\frac{v^2}{c^2}} \). Então será:

$$\ell \approx \ell_o$$ e $$\tau \approx \tau_o$$

ou seja, a redução dos corpos e o atraso do tempo relativistas num sistema de referência em movimento podem não ser tomados em consideração.

A lei relativista da composição das velocidades. Aos novos conceitos relativistas de espaço e de tempo corresponde uma nova lei da composição das velocidades. Evidentemente que a lei clássica da composição das velocidades não pode ser verdadeira, visto que ela contradiz a afirmação de que a velocidade da luz é constante na vácuo.

Se um comboio se move com a velocidade \( \mathtt {v}\) e num vagão, segundo a direção do movimento do comboio, se propaga uma onda luminosa, então a sua velocidade em relação á Terra deve ser igual de novo a \( \mathtt {c}\) , e não a \( \mathtt {v+c}\). A nova lei da composição das velocidades deve conduzir ao resultado pretendido.

Formularemos a lei da composição das velocidades para o caso particular em que o corpo se movimenta ao longo do eixo \( \mathtt {X_1}\) do sistema de referência \( \textrm{K}_{1}\), o qual, por sua vez, se move com a velocidade \( \mathtt {v}\) em relação ao sistema de referência \( \textrm{K}\). Além disso, os eixos das coordenadas \( \mathtt {X}\) e \( \mathtt {X_1}\) coincidem sempre, enquanto os eixos das coordenadas \( \textrm{y}\) e \(\textrm{y}_{1}\) , \( \mathtt {Z}\) e \( \mathtt {Z_1}\) se mantêm paralelos (fig. 4) .

Fig. 4

Representemos a velocidade do corpo em relação a \(\mathtt {K_1}\) por \(\mathtt {v_1}\), a velocidade do mesmo corpo em relação a \(\mathtt {K}\) por \(\mathtt {v_2}\). Então, de acordo com a lei relativista da composição de velocidades,

$$\mathtt {v_2=\frac{v_1+v}{1+\frac{v_1v}{c^2}}}$$

Se \( \mathtt {v\ll c }\) e \(\mathtt { v_1\ll c }\) , então podemos desprezar o termo \(\mathtt {\frac{v_1v}{c^2}}\) no denominador e, em vez de (3) , obtermos a lei clássica da composição das velocidades:

$$\mathtt {\vec v_2 = \vec v_1 + \vec v}$$

Quando \(\mathtt {v_1=c}\) , a velocidade \(\mathtt {v_2}\) também se torna igual a \( \mathtt {c}\) , tal como exige o segundo postulado da teoria da relatividade . De fato,

$$\mathtt {v_2 = \frac {c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = c \frac {c+v}{c+v}=c}$$

Uma admirável propriedade da lei relativista da composição de velocidades consiste em que, para quaisquer velocidades \(\mathtt {v_1}\) e \(\mathtt {v}\) (evidentemente, não superiores a c) a velocidade \(\mathtt {v_2}\) não é superior a c . No caso limite em que \(\mathtt {v_1=v=c}\) obtém-se:

$$\mathtt {v_2=\frac{2c}{c}=c}$$

A velocidade \(\mathtt {v>c}\) não é possível. A esta conclusão também se pode chegar através de raciocínios formais. De fato, se \(\mathtt {v>c}\) , as fórmulas (1) e (2) perdem o significado, visto que o comprimento e o tempo se tornam imaginários.