A mecânica quântica nasceu na década de 1920 por meio de formulações que, à primeira vista, pareciam completamente diferentes.
Em 1925, Werner Heisenberg desenvolveu a chamada mecânica matricial. Em vez de descrever diretamente trajetórias eletrônicas, Heisenberg construiu uma teoria baseada em quantidades que podiam ser organizadas como matrizes e utilizadas para calcular resultados observáveis, como frequências e intensidades das linhas espectrais.
Pouco depois, em 1926, Erwin Schrödinger apresentou a mecânica ondulatória. Sua abordagem utilizava uma função de onda que obedecia a uma equação diferencial — a famosa equação de Schrödinger.
As duas formulações pareciam conceitualmente distintas. Uma trabalhava com matrizes; a outra, com funções de onda. Entretanto, logo ficou evidente que ambas produziam as mesmas previsões físicas.
John von Neumann teve papel decisivo na compreensão matemática dessa equivalência. Entre 1927 e 1932, desenvolveu uma formulação rigorosa da mecânica quântica baseada na teoria dos espaços de Hilbert e dos operadores.
A contribuição de von Neumann não consistiu simplesmente em afirmar que “Heisenberg e Schrödinger estavam falando da mesma coisa”. Seu trabalho forneceu uma estrutura matemática na qual as diferentes formulações podiam ser compreendidas como representações de uma teoria mais geral.
Essa estrutura também permitiu tratar de maneira sistemática os estados quânticos, os observáveis e as medições, estabelecendo uma das bases matemáticas mais importantes da teoria quântica moderna.
Um espaço de Hilbert é, de maneira simplificada, um espaço vetorial dotado de um produto interno e que é completo em relação à distância definida por esse produto interno.
A ideia de completude é importante. Ela significa, grosso modo, que sequências de vetores que deveriam convergir de acordo com a estrutura matemática do espaço realmente possuem seus limites dentro do próprio espaço.
Essa característica é fundamental quando se trabalha com espaços de dimensão infinita, como aqueles utilizados para descrever partículas cuja posição pode assumir continuamente diferentes valores.
Para dois vetores de estado, por exemplo, podemos escrever o produto interno como:
\[ \langle \phi | \psi \rangle \]
No caso de funções de onda pertencentes ao espaço \(L^2\), esse produto interno pode ser escrito, de maneira simplificada, como:
\[ \langle \phi | \psi \rangle = \int \phi^*(x)\,\psi(x)\,dx \]
O produto interno permite calcular, entre outras coisas, a sobreposição entre estados. Essa quantidade desempenha papel central na determinação das probabilidades dos resultados de medições.