A dimensão do espaço de Hilbert depende do sistema físico que estamos descrevendo e do conjunto de graus de liberdade considerados.
Um sistema de dois níveis, como um qubit, pode ser descrito por um espaço de Hilbert de dimensão dois:
\[ \mathcal{H} \cong \mathbb{C}^2 \]
Um sistema de três níveis pode ser descrito por um espaço de dimensão três:
\[ \mathcal{H} \cong \mathbb{C}^3 \]
Entretanto, sistemas físicos mais complexos podem exigir espaços de Hilbert de dimensão muito maior ou até mesmo infinita.
Uma partícula cujo grau de liberdade de posição é contínuo, por exemplo, é descrita por um espaço de estados associado a funções de onda. Nesse caso, temos uma estrutura de dimensão infinita.
Sistemas compostos tornam a situação ainda mais impressionante. Se dois sistemas possuem espaços de Hilbert \(\mathcal{H}_A\) e \(\mathcal{H}_B\), o espaço de Hilbert do sistema combinado é, em geral, o produto tensorial:
\[ \mathcal{H}_{AB} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \]
É dessa estrutura que surge uma das características mais intrigantes da mecânica quântica: o emaranhamento.
Considere dois qubits. Cada um possui um espaço de Hilbert bidimensional. Seria natural imaginar que o sistema conjunto pudesse ser descrito apenas atribuindo um estado a cada qubit separadamente.
A mecânica quântica, porém, permite estados que não podem ser escritos como produto de um estado do primeiro sistema por um estado do segundo.
Um exemplo famoso é o estado de Bell:
\[ |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |00\rangle + |11\rangle \right) \]
Esse estado é emaranhado. Não é possível atribuir independentemente um estado quântico completo a cada qubit de modo que o produto dos dois estados reproduza o estado total.
O emaranhamento mostra por que o espaço de Hilbert de um sistema composto não pode ser compreendido simplesmente como uma coleção de espaços independentes. A estrutura matemática do espaço conjunto contém relações que não possuem equivalente clássico direto.