O trabalho de John von Neumann não terminou com a formulação da mecânica quântica em termos de espaços de Hilbert.
Ele também desenvolveu uma teoria profunda de operadores e estruturas algébricas que posteriormente receberam o nome de álgebras de von Neumann.
Essas estruturas são particularmente importantes porque permitem estudar sistemas quânticos por meio das relações entre os operadores que representam observáveis.
Em contextos mais avançados, especialmente na teoria quântica de campos, na teoria estatística quântica e nos fundamentos da mecânica quântica, as álgebras de operadores fornecem uma linguagem que pode ser mais natural do que pensar apenas em um espaço de Hilbert específico.
Essa evolução mostra algo interessante sobre a história da física matemática: uma estrutura inicialmente criada para organizar a mecânica quântica pode posteriormente tornar-se parte de uma linguagem matemática muito mais ampla.
Na mecânica quântica não relativística, é comum começar com um espaço de Hilbert associado ao sistema estudado. Na teoria quântica de campos, entretanto, a situação se torna muito mais sofisticada.
Os campos possuem infinitos graus de liberdade, e a criação e destruição de partículas precisam ser incorporadas ao formalismo. Um exemplo importante é o espaço de Fock, construído a partir dos espaços de Hilbert de uma ou várias partículas.
Isso demonstra que “o espaço de Hilbert” não é necessariamente uma estrutura única e universal com uma dimensão fixa para toda a física. Cada teoria e cada sistema podem envolver diferentes espaços de estados e diferentes representações matemáticas.
Essa observação também ajuda a evitar uma interpretação exagerada segundo a qual todo o Universo simplesmente “vive” dentro de um enorme espaço de Hilbert tridimensional ou com alguma dimensão determinada de maneira simples. A situação real é consideravelmente mais rica.