Uma das ideias mais importantes do formalismo quântico é que a evolução de um sistema isolado é determinada de maneira precisa pela equação de Schrödinger.
\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle \]
Nessa equação, \(\hat{H}\) representa o Hamiltoniano do sistema, enquanto \(\hbar\) é a constante de Planck reduzida.
Para um sistema isolado, a evolução pode ser expressa por um operador unitário:
\[ |\psi(t)\rangle = \hat{U}(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle \]
O termo “unitário” é importante porque garante a preservação da normalização do estado e, consequentemente, da soma das probabilidades.
Por isso, é mais preciso dizer que o estado evolui unitariamente no espaço de Hilbert do que afirmar que uma seta física literalmente “gira” nesse espaço.
Essa evolução é determinística no sentido de que, conhecendo o estado inicial e o Hamiltoniano, a teoria determina matematicamente o estado em qualquer instante posterior. Isso não significa, porém, que o resultado individual de uma medição seja determinado antecipadamente na formulação quântica usual.
O estado quântico sozinho não representa uma grandeza física específica. Para associar uma pergunta experimental ao formalismo matemático, precisamos especificar um observável.
Na formulação tradicional da mecânica quântica, observáveis são representados por operadores apropriados — em particular, operadores autoadjuntos no espaço de Hilbert.
Por exemplo, podemos ter operadores associados à posição, ao momento linear, à energia ou ao spin.
Os possíveis resultados de uma medição estão relacionados aos valores espectrais do operador correspondente. Assim, a teoria estabelece uma ligação precisa entre a estrutura matemática do espaço de Hilbert e aquilo que pode ser efetivamente medido em laboratório.
Essa é uma das grandes diferenças em relação à física clássica. Na mecânica quântica, o estado e a grandeza observada são elementos matemáticos distintos e sua relação é determinada pelas regras do formalismo.